АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ из 9 в 10 класс 2025 год демонстрационный вариант зима

АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ

2025

Демонстрационный вариант зима

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}. \] (5 баллов)
2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 = (x^2 - 3x + 1)^2. \] (5 баллов)
3. Семья состоит из трёх человек: матери, отца и дочери. Если бы зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $30\%$. Если бы стипендия дочери увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на $6\%$. Сколько процентов дохода составляет зарплата отца? (6 баллов)
   
   
4. Вычислите радиус окружности, в которую вписана трапеция, если большее основание трапеции является диаметром этой окружности, площадь трапеции равна $40\sqrt{5}$, а средняя линия трапеции равна 10. (6 баллов)
   
   
5. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если известно, что их сумма квадратов равна 136, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60. (6 баллов)
   
   
6. Решите систему неравенств \[ \frac{\sqrt{x + 16}}{x - 12} \leq \frac{\sqrt{x + 16}}{x + 12}, \quad x^2 + 16x \leq 0. \] (6 баллов)
7. Найдите на прямой $2x + 3y + 2 = 0$ точку $K(x, y)$ такую, что произведение её координат — наибольшее возможное. (6 баллов)
   
   
8. Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться двумя нечётными цифрами. (12 баллов)
   
   
9. Про функцию $f(x)$ известно, что $f(x)$ — чётная, $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1$ при $x \geq 0$, и график функции $f(x)$ имеет с прямой $y = 2x - 8$ ровно одну общую точку. Найдите значение параметра $a$, напишите, каким уравнением задаётся $f(x)$ при $x < 0$, и постройте график $f(x)$. (12 баллов)
   
   
10. В прямоугольный треугольник $ABC$, катеты которого $AC = 12$ и $BC = 5$, вписали окружность. На какие отрезки вписанная окружность делит биссектрису треугольника, проведённую из вершины $B$? (12 баллов)
    
    
11. Лиза выписала на доске все натуральные числа от 1 до 300 и затем стёрла те, которые делятся на 6, а остальные оставила. Коля выписал все натуральные числа от 1 до 300 и затем стёр те, которые делятся на 5, а остальные оставил. Сколько чисел одновременно входит в написанные на доске наборы Лизы и Коли? Сколько натуральных чисел от 1 до 300 не встретятся в оставленных наборах ни у Лизы, ни у Коли? (12 баллов)
    
    
12. Решите уравнение \[ \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 2} + 24 \sqrt{(x - 2)(6 - x)} = 2. \] (12 баллов)

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}. \] Решение:
   Упростим числитель: \[ \sqrt{99} = 3\sqrt{11}, \quad \sqrt{363} = 11\sqrt{3}. \] Тогда числитель: \[ 3\sqrt{11} + 11\sqrt{3} - 3\sqrt{11} = 11\sqrt{3}. \] Получаем: \[ \frac{11\sqrt{3}}{33\sqrt{3}} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}. \] Ответ: \(\frac{1}{3}\).
2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 = (x^2 - 3x + 1)^2. \] Решение:
   Раскроем квадраты, приводя уравнение к виду: \[ (x^2 + 27x - 57 - x^2 + 3x - 1)(x^2 + 27x - 57 + x^2 - 3x + 1) = 0. \] Упростим: \[ (30x - 58)(2x^2 + 24x - 56) = 0. \] Решаем уравнения: \[ 30x - 58 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{58}{30} = \frac{29}{15}; \] \[ 2x^2 + 24x - 56 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 12x - 28 = 0; \] Дискриминант \(D = 144 + 112 = 256\): \[ x = \frac{-12 \pm 16}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 2 \text{ или } x = -14. \] Ответ: \(x = \frac{29}{15},\ 2,\ -14\).
3. Семья состоит из трёх человек, доход отца составляет \(67\%\) общего дохода семьи.
   Ответ: \(67\%\).
4. Радиус окружности равен \(9\).
   Ответ: \(9\).
5. Шестой и десятый члены прогрессии равны \(10\) и \(6\) или наоборот.
   Ответ: \(10\) и \(6\).
6. Решите систему неравенств: \[ \frac{\sqrt{x + 16}}{x - 12} \leq \frac{\sqrt{x + 16}}{x + 12}, \quad x^2 + 16x \leq 0. \] Ответ: \(x \in [-16, -12) \cup (-12, 0]\).
7. Точка \(K\) с наибольшим произведением координат: \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\right)\).
   Ответ: \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\right)\).
8. Доказательство: квадрат целого числа не может оканчиваться двумя нечётными цифрами.
   Ответ: доказано.
9. Значение параметра \(a = 3\); уравнение при \(x < 0\): \(f(x) = x^2 + 6x + 8\).
   Ответ: \(a = 3\), \(f(x) = x^2 + 6x + 8\) при \(x < 0\).
10. Биссектриса делится окружностью на отрезки длиной \(\sqrt{13} - 2\) и \(\sqrt{13} + 2\).
    Ответ: \((\sqrt{13} - 2)\) и \((\sqrt{13} + 2)\).
11. Количество общих чисел: \(40\); чисел, отсутствующих в обоих наборах: \(100\).
    Ответ: \(40\) и \(100\).
12. Решите уравнение: \[ \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 2} + 24 \sqrt{(x - 2)(6 - x)} = 2. \] Ответ: \(x = 2\) или \(x = 6\).