Академическая Гимназия им. Д. К. Фаддеева СПбГУ из 9 в 10 класс 2025 год демовариант

АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ

2025

Демонстрационный вариант лето

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}. \] (5 баллов)
2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 = (x^2 - 3x + 1)^2. \] (5 баллов)
3. Семья состоит из трёх человек: матери, отца, дочери. Если бы зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $30\%$. Если бы стипендия дочери увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на $6\%$. Сколько процентов дохода составляет зарплата отца? (6 баллов)
   
   
4. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 12, вписали окружность. Найдите площадь треугольника с вершинами, расположенными в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника. (6 баллов)
5. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если известно, что их сумма квадратов равна $136$, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно $60$. (6 баллов)
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \frac{\sqrt{x+16}}{x-12} \le \frac{\sqrt{x+16}}{x+12}, \qquad x^2 + 16x \le 0. \] (6 баллов)
7. Найдите на прямой $2x + 3y + 2 = 0$ точку $K(x, y)$ такую, что произведение её координат — наибольшее возможное. (6 баллов)
   
   
8. При каких натуральных значениях $n$ дробь \[ \frac{n^2 + 5n - 8}{n + 3} \] принимает целые значения? Ответ обоснуйте. (12 баллов)
   
   
9. Про функцию $f(x)$ известно, что $f(x)$ — чётная, $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1$ при $x \geq 0$, и график функции $f(x)$ имеет с прямой $y = 2x - 8$ ровно одну общую точку. Найдите значение параметра $a$, напишите, каким уравнением задаётся $f(x)$ при $x < 0$, и постройте график $f(x)$. (12 баллов)
   
   
10. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AN$ и $BM$, и отмечена точка $K$ — середина стороны $AB$. Найдите площадь треугольника $MNK$, если известно, что угол $ACB$ равен $105^\circ$, а длина $AB$ равна $16$. (12 баллов)
    
    
11. Лиза выписала на доске все натуральные числа от $1$ до $300$ и затем стёрла те, которые делятся на $6$, а остальные оставила. Коля выписал все натуральные числа от $1$ до $300$ и затем стёр те, которые делятся на $5$, а остальные оставил. Сколько чисел одновременно входит в написанные на доске наборы Лизы и Коли? Сколько натуральных чисел от $1$ до $300$ не встретится в оставленных наборах ни у Лизы, ни у Коли? (12 баллов)
    
    
12. Пусть число $P$ имеет $n$ разрядов ($n > 0$). Число $Q$ получено из $P$ некоторой перестановкой его цифр (ноль, если он есть, в начало не ставится). Найдите минимальное значение $n$, при котором разность $P - Q$ будет числом, записываемым ровно $n$ единицами. Полностью обоснуйте свой ответ. (12 баллов)

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} \] Решение: Упростим каждый из радикалов: \[ \sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11}, \quad \sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3} \] Подставим в выражение: \[ \frac{3\sqrt{11} + 11\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = \frac{11\sqrt{3}}{33\sqrt{3}} = \frac{11}{33} = \boxed{\frac{1}{3}} \]
2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 = (x^2 - 3x + 1)^2 \] Решение: Применим разность квадратов: \[ (x^2 + 27x - 57 - x^2 + 3x - 1)(x^2 + 27x - 57 + x^2 - 3x + 1) = 0 \] Упростим выражения в скобках: \[ (30x - 58)(2x^2 + 24x - 56) = 0 \Rightarrow (30x - 58) \cdot 2(x^2 + 12x - 28) = 0 \] Корни: \[ x = \frac{58}{30} = \frac{29}{15}, \quad x = 2, \quad x = -14 \] Ответ: $\boxed{-\frac{29}{15}, 2, -14}$
3. Семья состоит из трёх человек: матери, отца, дочери. Зарплата отца составляет наибольший процент. Решение показало, что зарплата отца составляет $\boxed{67\%}$ общего дохода семьи.
4. Вписанная окружность в прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 имеет радиус 2. Площадь треугольника, образованного точками касания, равна $\boxed{\dfrac{60}{13}}$.
5. Геометрическая прогрессия с условиями суммы квадратов шестого и десятого членов, равной 136, имеет эти члены равными $\boxed{6}$ и $\boxed{10}$.
6. Решение системы неравенств даёт $\boxed{x \in \{-16\} \cup (-12; 0]}$. Второе неравенство ограничивает \(x\) отрезком \([-16; 0]\), учёт первого неравенства уточняет интервал.
7. Максимальное произведение координат на прямой \(2x + 3y + 2 = 0\) достигается в точке $\boxed{K\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3}\right)}.$
8. Натуральные значения \(n\), при которых дробь \(\dfrac{n^2 + 5n - 8}{n + 3}\) целая: \(\boxed{4}\) и \(\boxed{11}\).
9. Функция \(f(x)\) при \(a = 3\) задаётся уравнением $\boxed{f(x) = x^2 + 6x + 8}$ для \(x < 0\).
10. Площадь треугольника \(MNK\) в заданных условиях равна \(\boxed{16}\).
11. Количество чисел, оставшихся у обоих: \(\boxed{200}\). Числа, отсутствующие у обоих: \(\boxed{10}\).
12. Минимальное количество цифр \(n\), при котором разность \(P - Q\) состоит из единиц: \(\boxed{3}\). Пример: \( 321 - 210 = 111 \)