8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Академическая Гимназия им. Д. К. Фаддеева СПбГУ из 8 в 9 класс 2025 год демовариант

Сложность:
Дата экзамена: 2025
Печать
youit.school ©

АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ


2025


Демонстрационный вариант зима



  1. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{5} - 2)^2 (9 + 4\sqrt{5}) - 2\sqrt{ \frac{5\frac{4}{9}}{9} }. \] (5 баллов)
  2. Решите неравенство: \[ \frac{x + 4}{5} - \frac{3x - 1}{2} \leq 2(x - 1). \] (5 баллов)
  3. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число. (6 баллов)

  4. Найдите площадь треугольника со сторонами 10, 13, 13 см. (6 баллов)

  5. На день рождения Маша купила 15 шоколадных конфет и 9 пирожных. Какое наибольшее количество гостей может пригласить Маша, чтобы и конфеты, и пирожные разделить поровну между всеми, включая её саму? (6 баллов)

  6. Решите уравнение: \[ \left( \frac{5x - 2}{2x^2} \right)^2 + \frac{2 - 5x}{2x^2} = 0. \] (6 баллов)
  7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: \[ y = x + 2 \quad \text{и} \quad y = 2x^2 + 4x - 3. \] (6 баллов)
  8. При каких значениях параметра $t$ два квадратных трёхчлена \[ x^2 - t \quad \text{и} \quad x^2 + 5x \] имеют общий корень? Ответ обоснуйте. (12 баллов)

  9. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели биссектрису $AL$ угла $A$, причем точка $L$ лежит на боковой стороне $BC$. Точку $L$ соединили с основанием высоты $BH$, при этом отрезок $LH$ оказался параллельным стороне $AB$. Найдите $BL$, если длина $AC$ равна 8. Ответ обоснуйте. (12 баллов)

  10. Найдите остаток от деления на 3 числа \[ 2^2 + 32^2 + 332^2 + 3332^2 + \ldots + \underbrace{33\ldots32^2}_{2024}. \] (В последнем числе 2024 тройки). Ответ обоснуйте. (12 баллов)

  11. Докажите, что число \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \] является корнем уравнения $x^2 = 1$. Обоснуйте свой ответ. (12 баллов)

  12. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точку $(1;1)$ и высекает на оси абсцисс отрезок длиной $6$. Её вершина имеет абсциссу $x_0 = -1$. Найдите коэффициенты $a$, $b$, $c$. (12 баллов)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{5} - 2)^2 (9 + 4\sqrt{5}) - 2\sqrt{ \frac{5\frac{4}{9}}{9} } \] Решение: \[ (\sqrt{5} - 2)^2 = 9 - 4\sqrt{5} \] \[ (9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 81 - 80 = 1 \] \[ \frac{5\frac{4}{9}}{9} = \frac{49}{81}, \quad \sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9} \] \[ 2 \cdot \frac{7}{9} = \frac{14}{9} \] Ответ: \(1 - \frac{14}{9} = -\frac{5}{9}\).
    Ответ: \(-\frac{5}{9}\).

  2. Решите неравенство: \[ \frac{x + 4}{5} - \frac{3x - 1}{2} \leq 2(x - 1) \] Решение: \[ 10 \left( \frac{x + 4}{5} - \frac{3x - 1}{2} \right) \leq 20(x - 1) \] \[ 2(x + 4) - 5(3x - 1) \leq 20x - 20 \] \[ -13x + 13 \leq 20x - 20 \] \[ -33x \leq -33 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1 \] Ответ: \(x \in [1; +\infty)\).

  3. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число.
    Решение: Пусть цифры числа \(a\) и \(b\). Число равно \(10a + b\).
    Условия: \[ 10a + b = 3ab + 9 \] \[ (a + b)^2 - ab = 10a + b \] Решение системы: \(a = 6, b = 3\). Число 63.
    Проверка: \(63 = 3 \cdot (6 \cdot 3) + 9\), \((6 + 3)^2 - 6 \cdot 3 = 63\).
    Ответ: 63.

  4. Найдите площадь треугольника со сторонами 10, 13, 13 см.
    Решение: Треугольник равнобедренный, высота: \[ h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2 \] Ответ: 60 см².

  5. На день рождения Маша купила 15 конфет и 9 пирожных. Какое наибольшее количество гостей может пригласить Маша?
    Решение: НОД(15, 9) = 3. Всего людей: 3 (2 гостя и Маша).
    Ответ: 2 гостя.

  6. Решите уравнение: \[ \left( \frac{5x - 2}{2x^2} \right)^2 + \frac{2 - 5x}{2x^2} = 0 \] Решение: \[ \frac{5x - 2}{2x^2} \left( \frac{5x - 2}{2x^2} - 1 \right) = 0 \] \[ \frac{5x - 2}{2x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5} \] \[ \frac{5x - 2}{2x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 2 \] Ответ: \(x = \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, 2\).

  7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: \[ y = x + 2 \quad \text{и} \quad y = 2x^2 + 4x - 3 \] Решение: \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1, \; x = -\frac{5}{2} \] Точки: \((1; 3)\) и \((-\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})\).
    Ответ: \((1; 3)\), \((-\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})\).

  8. При каких значениях параметра \(t\) два квадратных трёхчлена \[ x^2 - t \quad \text{и} \quad x^2 + 5x \] имеют общий корень?
    Решение: Общий корень удовлетворяет: \[ x^2 - t = 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 5x = 0 \] Корни: \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); \(x = -5 \Rightarrow t = 25\).
    Ответ: \(t = 0, 25\).

  9. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) провели биссектрису \(AL\). Точку \(L\) соединили с основанием высоты \(BH\), отрезок \(LH\) параллелен \(AB\). Найдите \(BL\), если \(AC = 8\).
    Решение: Использование координат показывает \(BL = 4\).
    Ответ: 4.

  10. Найдите остаток от деления суммы \[ 2^2 + 32^2 + 332^2 + \ldots + \underbrace{33\ldots32^2}_{2024} \] на 3.
    Решение: Каждое слагаемое \(\equiv 1 \mod 3\). Количество слагаемых 2025 \(\equiv 0 \mod 3\).
    Ответ: 0.

  11. Докажите, что число \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \] является корнем уравнения \(x^2 = 1\).
    Решение: Упрощение выражения даёт \(-1\), тогда \((-1)^2 = 1\).
    Ответ: Доказано.

  12. Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) проходит через точку \((1;1)\), отрезок на оси абсцисс длиной 6, вершина имеет абсциссу \(x_0 = -1\). Найдите коэффициенты \(a, b, c\).
    Решение: Корни параболы \(-4\) и \(2\), вершина \((-1; k)\), \[ y = -\frac{1}{5}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{8}{5} \] Ответ: \(a = -\frac{1}{5}\), \(b = -\frac{2}{5}\), \(c = \frac{8}{5}\).
Материалы школы Юайти