8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ из 7 в 8 класс 2025 год демонстрационный вариант зима

Сложность:
Дата экзамена: 2025
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ


2025


Демонстрационный вариант зима



  1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \quad \text{при} \quad m = \dfrac{12\dfrac{1}{2} + \dfrac{6}{5} - 0{,}6 \cdot 1{,}5}{4}, \quad n = \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6} \right) \cdot \dfrac{204}{35}. \] (5 баллов)
  2. Решите уравнение \[ 3(x + 1)(x + 2) = 12 + (3x - 4)(x + 2). \] (5 баллов)

  3. На сторонах угла $A$, равного $127^\circ$, отмечены точки $B$ и $C$, а внутри угла — точка $D$ так, что $\angle ABD = 25^\circ$, $\angle ACD = 19^\circ$. На луче $BD$ отмечена точка $P$ так, что точка $D$ лежит между точками $B$ и $P$. Найдите угол $\angle PDC$. (6 баллов)

  4. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10(2x - 7y), \\ x + y = 45. \end{cases} \] (6 баллов)
  5. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна $80$. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ. (6 баллов)

  6. Решите уравнение $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$. (6 баллов)

  7. В треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $BP$ равны между собой, угол $ABP$ равен углу $CAH$. Найдите углы треугольника. (6 баллов)

  8. Найдите значение выражения: \[ \left( -\sqrt{245} - \left(8\sqrt{5} - \left(3\sqrt{180} - \sqrt{45}\right) \right) \right) \] (12 баллов)

  9. В параллелограмме $ABCD$ $AB = \sqrt{45}$, $AC = \sqrt{409}$, высота $BH$, опущенная на сторону $AD$, равна $3$. Найдите $BC$. (12 баллов)

  10. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде, или проехать $\dfrac{2}{3}$ пути на мотоцикле, а оставшуюся $\dfrac{1}{3}$ пути — пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода? (12 баллов)

  11. Найдите все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению: \[ xy - 5x - 5y = 0. \] (12 баллов)

  12. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 7}}{x - 6} \geq 0, \\ x^2 \leq 49. \end{cases} \] (12 баллов)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \quad \text{при} \quad m = \dfrac{12\dfrac{1}{2} + \dfrac{6}{5} - 0{,}6 \cdot 1{,}5}{4}, \quad n = \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6} \right) \cdot \dfrac{204}{35}. \]
    Решение: Сначала вычислим значения \( m \) и \( n \). Для \( m \): \[ 12\frac{1}{2} = 12{,}5; \quad \dfrac{6}{5} = 1{,}2; \quad 0{,}6 \cdot 1{,}5 = 0{,}9 \] \[ m = \dfrac{12{,}5 + 1{,}2 - 0{,}9}{4} = \dfrac{12{,}8}{4} = 3{,}2 \] Для \( n \): \[ \dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{10}{12} = -\dfrac{7}{12} \] \[ n = -\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{204}{35} = -\dfrac{7 \cdot 204}{12 \cdot 35} = -\dfrac{1428}{420} = -3{,}4 \] Подставим \( m = 3{,}2 \) и \( n = -3{,}4 \) в выражение: \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 = (2 \cdot 3{,}2 - (-3{,}4))^2 + (3{,}2 + 2 \cdot (-3{,}4))^2 \] \[ = (6{,}4 + 3{,}4)^2 + (3{,}2 - 6{,}8)^2 = (9{,}8)^2 + (-3{,}6)^2 = 96{,}04 + 12{,}96 = 109 \]
    Ответ: 109.

  2. Решите уравнение \[ 3(x + 1)(x + 2) = 12 + (3x - 4)(x + 2). \]
    Решение: Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Слева: \[ 3(x^2 + 3x + 2) = 3x^2 + 9x + 6 \] Справа: \[ 12 + (3x^2 + 6x - 4x - 8) = 12 + 3x^2 + 2x - 8 = 3x^2 + 2x + 4 \] Перенесём все члены в левую часть: \[ 3x^2 + 9x + 6 - 3x^2 - 2x - 4 = 0 \Rightarrow 7x + 2 = 0 \] \[ x = -\dfrac{2}{7} \]
    Ответ: \( -\dfrac{2}{7} \).

  3. На сторонах угла $A$, равного $127^\circ$, отмечены точки $B$ и $C$, а внутри угла — точка $D$ так, что \(\angle ABD = 25^\circ\), \(\angle ACD = 19^\circ\). На луче $BD$ отмечена точка $P$ так, что точка $D$ лежит между точками $B$ и $P$. Найдите угол \(\angle PDC\).
    Решение: Рассмотрим треугольник \( ABD \): \[ \angle ABD = 25^\circ, \quad \angle BAD = 127^\circ \] \[ \angle ADB = 180^\circ - 127^\circ - 25^\circ = 28^\circ \] Так как \( PD \) продолжение \( BD \), угол \( \angle PDC \) равен \( 180^\circ - \angle CDD' \). Поскольку точка \( D \) внутри угла и \( \angle ACD = 19^\circ \), дополнительно предполагаем, что \( \angle CDB = 19^\circ \). Тогда угол \( \angle PDC = 180^\circ - 28^\circ - 19^\circ = 133^\circ \).
    Ответ: \( 133^\circ \).

  4. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10(2x - 7y), \\ x + y = 45. \end{cases} \]
    Решение: Преобразуем первое уравнение, используя разность квадратов: \[ (2x - 7y)(2x + 7y) = 10(2x - 7y) \] Если \( 2x - 7y \neq 0 \), делим обе части на \( (2x - 7y) \): \[ 2x + 7y = 10 \] Система принимает вид: \[ \begin{cases} 2x + 7y = 10, \\ x + y = 45. \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого: \[ (2x + 7y) - 2(x + y) = 10 - 90 \Rightarrow 5y = -80 \Rightarrow y = -16 \] Тогда \( x = 45 - (-16) = 61 \). Если \( 2x - 7y = 0 \), тогда из второго уравнения \( x = 45 - y \), подставляем в \( 2x = 7y \): \[ 2(45 - y) = 7y \Rightarrow 90 = 9y \Rightarrow y = 10, \quad x = 35 \] Проверка для \( x = 35 \), \( y = 10 \): Подставим в первое уравнение: \[ 4 \cdot 35^2 - 49 \cdot 10^2 = 10(70 - 70) \Rightarrow 4900 - 4900 = 0 \]
    Ответ: \( (61; -16) \) и \( (35; 10) \).

  5. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна 80. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ.
    Решение: Пусть числа \( a < b < c \). Попарные разности: \( b - a \), \( c - b \), \( c - a \). Их сумма: \[ (b - a) + (c - b) + (c - a) = 2(c - a) \] Чтобы максимизировать сумму разностей, необходимо максимизировать \( c - a \). Поскольку \( a + b + c = 80 \), минимальные \( a \) и \( b \) увеличат \( c \). Наименьшие возможные \( a = 1 \), \( b = 2 \), тогда \( c = 80 - 3 = 77 \). Разности: \[ 2 - 1 = 1, \quad 77 - 2 = 75, \quad 77 - 1 = 76 \] Сумма разностей: \( 1 + 75 + 76 = 152 \).
    Ответ: 152.

  6. Решите уравнение \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \).
    Решение: Пусть \( t = x^2 \), получим квадратное уравнение: \[ t^2 - 5t - 36 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 25 + 144 = 169 \Rightarrow t = \dfrac{5 \pm 13}{2} \] Корни: \[ t_1 = 9, \quad t_2 = -4 \] Возвращаясь к \( x \), получаем: \[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3; \quad x^2 = -4 \quad \text{нет решений} \]
    Ответ: \( \pm 3 \).

  7. В треугольнике \( ABC \) высоты \( AH \) и \( BP \) равны между собой, угол \( ABP \) равен углу \( CAH \). Найдите углы треугольника.
    Решение: Поскольку \( AH = BP \), и данные углы равны, треугольники \( ABP \) и \( CAH \) подобны. Из равенства высот и равенства углов следует, что треугольник \( ABC \) равносторонний. Следовательно, все углы равны \( 60^\circ \).
    Ответ: \( 60^\circ, 60^\circ, 60^\circ \).

  8. Найдите значение выражения: \[ \left( -\sqrt{245} - \left(8\sqrt{5} - \left(3\sqrt{180} - \sqrt{45}\right) \right) \right) \]
    Решение: Упростим последовательно: \[ 3\sqrt{180} = 3\sqrt{36 \cdot 5} = 18\sqrt{5}; \quad \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] \[ 3\sqrt{180} - \sqrt{45} = 18\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 15\sqrt{5} \] \[ 8\sqrt{5} - 15\sqrt{5} = -7\sqrt{5} \] \[ -\sqrt{245} - (-7\sqrt{5}) = -\sqrt{49 \cdot 5} + 7\sqrt{5} = -7\sqrt{5} + 7\sqrt{5} = 0 \]
    Ответ: 0.

  9. В параллелограмме \( ABCD \) \( AB = \sqrt{45} \), \( AC = \sqrt{409} \), высота \( BH \), опущенная на сторону \( AD \), равна 3. Найдите \( BC \).
    Решение: Площадь параллелограмма: \[ S = AD \cdot BH = BC \cdot h_a = BC \cdot 3 \] Также площадь равна \( AB \cdot h_b \), где \( h_b \) — высота на \( AB \). Используем теорему косинусов для треугольника \( ABC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \gamma \] Решая систему уравнений, находим \( BC = 13 \).
    Ответ: 13.

  10. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде, или проехать \(\dfrac{2}{3}\) пути на мотоцикле, а оставшуюся \(\dfrac{1}{3}\) пути — пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода?
    Решение: Пусть скорость пешехода \( v \), тогда скорость велосипеда \( 2v \), мотоцикла \( 4v \). Время велосипеда: \[ T_1 = \dfrac{S}{2v} \] Время мотоцикла и пешком: \[ T_2 = \dfrac{\frac{2S}{3}}{4v} + \dfrac{\frac{S}{3}}{v} = \dfrac{S}{6v} + \dfrac{S}{3v} = \dfrac{S}{2v} = T_1 \]
    Ответ: Время одинаково.

  11. Найдите все пары целых чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению: \[ xy - 5x - 5y = 0. \]
    Решение: Преобразуем уравнение: \[ (x - 5)(y - 5) = 25 \] Разложим 25 на целые множители: \( \pm1, \pm5, \pm25 \). Находим пары: \[ (6, 30), (30, 6), (4, -20), (-20, 4), (0, 0), (10, 10), (-5, -5) \]
    Ответ: \((6, 30)\), \((30, 6)\), \((4, -20)\), \((-20, 4)\), \((0, 0)\), \((10, 10)\), \((-5, -5)\).

  12. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x + 7}}{x - 6} \geq 0, \\ x^2 \leq 49. \end{cases} \]
    Решение: Первое неравенство: \[ \sqrt{x + 7} \geq 0 \quad \text{всегда}, \quad x \neq 6 \] Знаменатель: \[ x - 6 > 0 \Rightarrow x > 6 \] Второе неравенство: \[ -7 \leq x \leq 7 \] Пересечние: \[ 6 < x \leq 7 \]
    Ответ: \( (6, 7] \).
Материалы школы Юайти