АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ из 7 в 8 класс 2025 год демонстрационный вариант лето

АГ им. Д. К. Фаддеева СПбГУ

2025

Демонстрационный вариант лето

1. Найдите значение выражения $(2m - n)^2 + (m + 2n)^2$ при \[ m = \dfrac{12 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{6}{5} - 0{,}6 \cdot 1{,}5}{4}, \]
   
   \[ n = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{6} \right) \cdot \dfrac{204}{35}. \] (5 баллов)
2. Решите уравнение $3(x + 1)(x + 2) = 12 + (3x - 4)(x + 2)$. (5 баллов)
   
   
3. На сторонах угла $A$, равного $127^\circ$, отмечены точки $B$ и $C$, а внутри угла — точка $D$ так, что $\angle ABD = 25^\circ$, $\angle ACD = 19^\circ$. На луче $BD$ отмечена точка $P$ так, что точка $D$ лежит между точками $B$ и $P$. Найдите угол $PDC$. (6 баллов)
   
   
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10(2x - 7y), \\ x + y = 45. \end{cases} \] (6 баллов)
5. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна 80. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ. (6 баллов)
6. Петя и Вася вскапывают грядку за 10 минут, а один Петя — за 15 минут. На сколько минут Вася дольше Пети вскапывает грядку, работая один? (6 баллов)
7. В треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $BP$ равны между собой, угол $ABP$ равен углу $CAH$. Найдите углы треугольника. (6 баллов)
   
   Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.
   
   
8. Если перемножить цифры некоторого натурального числа на само число, то получится $10472$. Найдите все числа, обладающие таким свойством. Ответ обоснуйте. (12 баллов)
9. Внутри равностороннего треугольника отмечена точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до двух вершин треугольника больше, чем расстояние от этой точки до третьей вершины. (12 баллов)
10. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде, или проехать $\dfrac{2}{3}$ пути на мотоцикле, а оставшуюся $\dfrac{1}{3}$ пути — пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода? (12 баллов)
11. Найдите все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющих уравнению $xy - 5x - 5y = 0$. (12 баллов)
12. Напишите уравнение прямой, график которой проходит через точки $M(3; -1)$ и $N(-6; -4)$. Укажите точки этого графика, для которых модуль абсциссы равен модулю ординаты. Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно биссектрисы первой и третьей четвертей координатной плоскости. (12 баллов)

Решения задач

1. Найдите значение выражения $(2m - n)^2 + (m + 2n)^2$ при заданных $m$ и $n$.
   Решение:
   Посчитаем $m$ и $n$: \[ m = \frac{12 \cdot \frac{1}{2} + \frac{6}{5} - 0,6 \cdot 1,5}{4} = \frac{6 + 1,2 - 0,9}{4} = \frac{6,3}{4} = \frac{63}{40} \] \[ n = \left( \frac{1}{4} - \frac{5}{6} \right) \cdot \frac{204}{35} = \left( -\frac{7}{12} \right) \cdot \frac{204}{35} = -\frac{17}{5} \] Упростим выражение: $(2m - n)^2 + (m + 2n)^2 = 5(m^2 + n^2)$ \[ m^2 + n^2 = \left( \frac{63}{40} \right)^2 + \left( -\frac{17}{5} \right)^2 = \frac{3969}{1600} + \frac{289}{25} = \frac{22465}{1600} \] \[ 5 \cdot \frac{22465}{1600} = \frac{112325}{1600} = \frac{4493}{64} = 70,203125 \] Ответ: $70,203125$.
   
   
2. Решите уравнение $3(x + 1)(x + 2) = 12 + (3x - 4)(x + 2)$.
   Решение: \[ 3(x^2 + 3x + 2) = 12 + (3x^2 + 2x - 8) \] \[ 3x^2 + 9x + 6 = 3x^2 + 2x + 4 \] \[ 7x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{7} \] Ответ: $-\frac{2}{7}$.
3. Найдите угол $PDC$.
   Решение: По построению сумма углов $\angle ABD$ и $\angle ACD$ в условиях задачи равна углу $PDC$: \[ \angle PDC = \angle ABD + \angle ACD = 25^\circ + 19^\circ = 44^\circ \] Ответ: $44^\circ$.
4. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10(2x - 7y), \\ x + y = 45. \end{cases} \] Решение:
   Подставим $x = 45 - y$ в первое уравнение: \[ 4(45 - y)^2 - 49y^2 = 10(90 - 9y) \] Раскроем и упростим: \[ 45y^2 + 270y - 7200 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 6y - 160 = 0 \] Корни: $y = 10$, $y = -16$, тогда $x = 35$, $x = 61$ соответственно.
   Ответ: $(35; 10)$, $(61; -16)$.
5. Какое наибольшее значение суммы разностей трёх различных чисел с суммой 80?
   Решение: Для чисел $a < b < c$ сумма попарных разностей равна $2(c - a)$. Максимизируем $c - a$. Минимальные $a = 1$, $b = 2$, тогда $c = 77$. Сумма разностей: $77 - 1 + 77 - 2 + 2 - 1 = 152$. Ответ: $152$.
6. На сколько минут Вася медленнее Пети?
   Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{10}$ грядки/мин. Скорость Пети: $\frac{1}{15}$ грядки/мин. Скорость Васи: $\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$ грядки/мин.
   Время Васи: $30$ мин. Разница: $30 - 15 = 15$ мин. Ответ: На $15$ минут.
7. Найдите углы треугольника $ABC$.
   Решение: Из равенства высот $\Rightarrow$ треугольник равносторонний. Все углы равны $60^\circ$. Ответ: Все углы по $60^\circ$.
8. Найдите числа, произведение цифр на число которых равно $10472$.
   Решение: Разложение $10472 = 187 \cdot 56$. Проверим цифры числа $187$: $1 \cdot 8 \cdot 7 = 56 \quad \Rightarrow \quad 187 \cdot 56 = 10472$. Ответ: $187$.
9. Докажите неравенство для точки внутри равностороннего треугольника.
   Решение: Для любой точки внутри сумма расстояний до двух вершин больше расстояния до третьей по свойству метрики треугольника. Проверка координатным методом подтверждает неравенство.
10. Что быстрее: велосипед или комбинированный путь?
    Решение: Время на велосипеде: $\frac{S}{2v}$.
    Время мотоцикл + пешком: $\frac{2S/3}{4v} + \frac{S/3}{v} = \frac{S/6v + S/3v} = \frac{S}{2v}$.
    Ответ: Время одинаково.
11. Найдите целые решения уравнения $xy -5x -5y = 0$.
    Решение: Преобразуем: $(x - 5)(y - 5) = 25$. Пары делителей: \[ (x, y) = (6; 30), (30; 6), (10; 10), (4; -20), (-20; 4), (0; 0) \] Ответ: $(6; 30)$, $(30; 6)$, $(10; 10)$, $(4; -20)$, $(-20; 4)$, $(0; 0)$.
12. Напишите уравнение прямой через точки $M(3; -1)$ и $N(-6; -4)$.
    Решение: Угловой коэффициент: $k = \frac{-4 + 1}{-6 - 3} = \frac{1}{3}$. Уравнение: $y = \frac{1}{3}x - 2$.
    Точки с $|x| = |y|: (-3; -3)$ и $(1,5; -1,5)$.
    Симметричная прямая: $y = 3x + 6$. Ответ: Прямая $y = \frac{1}{3}x - 2$, точки $(-3; -3)$ и $(1,5; -1,5)$, симметричная прямая $y = 3x + 6$.