Школа №57 из 10 в 11 класс 2022 год

ШКОЛА №57

2022 год

Устное

1. Хакеру Василию поручили осуществить взлом 10 аккаунтов некоторой социальной сети. У Василия есть список паролей от этих аккаунтов, но он не знает, какой пароль какому аккаунту соответствует. Все пароли различны.
   1. Какое минимальное количество неуспешных попыток ввода паролей потребуется Василию, чтобы гарантированно зайти во все аккаунты?
   2. Как изменится ответ, если аккаунтов будет 100?
   
   
   
2. В мешке лежит 30 чёрных шаров и 20 белых. Вы вынимаете одновременно два шара. Если они одного цвета, вы добавляете в мешок чёрный шар. Если они разных цветов — добавляете белый. Повторяете эти действия до тех пор, пока в мешке не останется один шар.
   1. Какого цвета будет последний шар в мешке?
   2. Поменяется ли ответ, если изначально в мешке 30 чёрных шаров и 21 белый?
   
   
   
3. Определите, на какую цифру оканчивается число \[ 5757^{5757}. \]
   
   
4. У старых мобильных телефонов не было сенсорного экрана. Набор номера осуществлялся с помощью кнопок (от 0 до 9), а для того, чтобы набирать текст, каждой кнопке было сопоставлено по несколько букв: \[ 2\to\{A,B,C\},\; 3\to\{D,E,F\},\; 4\to\{G,H,I\},\; 5\to\{J,K,L\},\; 6\to\{M,N,O\},\; 7\to\{P,Q,R,S\},\; 8\to\{T,U,V\},\; 9\to\{W,X,Y,Z\}. \] Выбор нужной буквы определялся числом быстрых нажатий на кнопку. Например, нажав на кнопку 6 один раз, получим букву M, а два нажатия — N (быстро) или MM (с паузой). При этом делать больше быстрых нажатий, чем есть букв, бессмысленно — если, например, сделать пять быстрых нажатий на кнопку 6, то первые три будут восприняты как O, а следующие 2 — как N; того же эффекта можно добиться, сделав три быстрых нажатия на кнопку 6, а чуть позже, с паузой — ещё два. Известно, что при наборе пароля из 10 букв были нажаты последовательно кнопки \[ 5\,5\,5\,7\,7\,7\,7\,7\,2\,2\,3\,4. \] Определите число возможных вариантов пароля.
   
   
5. На уроке физкультуры учитель решил провести соревнование по бегу, однако обнаружил, что забыл секундомер. На уроке присутствует 25 человек, на стадионе есть 5 дорожек, то есть одновременно бежать могут только 5 человек. Учитель может визуально определить, кто в каком порядке прибежал. Каково минимальное количество «забегов» нужно устроить учителю, чтобы определить трёх самых быстрых учеников, и как он при этом должен действовать?
   
   
6. Дано число \(N\), являющееся степенью числа 5 \(\bigl(N = 5^k\bigr)\), где \(k\) — некоторое натуральное число. Можно ли переставить цифры в числе \(N\) таким образом, чтобы получить другую степень числа 5 \(\bigl(5^m\bigr)\), где \(m\) — некоторое натуральное число, не равное \(k\)? В новом числе \(N\) не должно быть ведущих нулей (другими словами, количество значащих цифр в исходном числе и в новом числе должно быть одинаковым).

Решения задач

1. 1. Для гарантированного входа во все 10 аккаунтов потребуется сумма неудачных попыток от 9 до 0:
      $9 + 8 + 7 + \dots + 0 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$.
      Ответ: 45.
   2. Для 100 аккаунтов сумма неудачных попыток:
      $99 + 98 + \dots + 0 = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950$.
      Ответ: 4950.
2. 1. Количество чёрных шаров изначально чётно (30), а белых — чётно (20). При любой операции количество чёрных шаров изменяется на чётное число или остаётся неизменным. Следовательно, последний шар будет чёрным.
      Ответ: чёрный.
   2. Если белых шаров изначально 21 (нечётное), то последний шар будет белым.
      Ответ: белый.
3. Найдём последнюю цифру степени $7^{5757}$. Цикл последних цифр числа $7^n$: 7, 9, 3, 1. Делим степень на 4:
   $5757 \div 4 = 1439$ с остатком 1. Последняя цифра равна $7^1 = 7$.
   Ответ: 7.
4. Разбиваем нажатия групп кнопок:
   • Кнопка 5 (3 нажатия): $\text{Кол-во вариантов} = 4$.
   • Кнопка 7 (5 нажатий): $\text{Кол-во вариантов} = 8 + 6 + 1 = 15$.
   • Кнопка 2 (2 нажатия): $\text{Кол-во вариантов} = 2$.
   • Кнопки 3 и 4: по 1 варианту.
   Общее количество паролей: $4 \cdot 15 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 120$.
   Ответ: 120.
5. Алгоритм:
   1. 5 забегов для определения лидеров групп (25 участников).
   2. 1 забег с победителями групп для определения трёх ведущих.
   3. Дополнительные забеги для сравнения потенциальных кандидатов на второе и третье места (итого 7 забегов).
   Ответ: минимальное количество забегов — 7.
6. Все степени 5 оканчиваются на 5. При перестановке цифр полученное число должно также оканчиваться на 5 и быть степенью 5. Таких чисел не существует, так как перестановка цифр других степеней 5 не даёт новой степени 5.
   Ответ: нет.