8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №57 из 10 в 11 класс 2022 год

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2022
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ШКОЛА №57


2022 год


Типовые



  1. Деньги и дрова. Две хозяйки (Маша и Даша) и один хозяин (Миша) готовили на общей кухне обед. Продукты были общими, а вот дрова каждый должен был обеспечить отдельно. Маша принесла три полена, Даша — пять таких же поленьев, а Миша, согласно ранее достигнутой договорённости, отдал им восемь рублей. Маша и Даша сочли это равным вкладом в общее дело. Как разделить «по справедливости» между Машей и Дашей эти восемь рублей, если дрова прогорели полностью? Объясните почему.

  2. Антикризисные макароны. В связи с падением доходов населения из‑за экономического кризиса общее потребление макарон выросло на $10\%$. При этом выручка производителей макарон выросла с 500 млн руб. до 660 млн руб. На сколько процентов изменилась цена макарон?

  3. Антикризисное золото. В связи с финансовым кризисом гражданин N решил снять деньги с банковского счёта и вложить их более выгодно. Он купил маленький золотой слиток, который за шесть месяцев подорожал на $25\%$. Гражданин N думал, что цена золота будет продолжать расти, но ошибся. Подождав ещё шесть месяцев, он продал слиток. Сумма, которую он получил, оказалась на $10\%$ меньше, чем он бы выручил шесть месяцев назад. Сколько выиграл или проиграл гражданин N, если он мог бы положить деньги в банк и получать $20\%$ в год (деньги можно класть только на целый год)?

  4. Дилемма пенсионерки. Бабушка Марья, достигнув 65 лет, ушла на пенсию. Но, к несчастью, её пенсии было недостаточно, и она решила заняться бизнесом. Бабушка прекрасно готовит котлеты и пирожки с мясом. За день бабушка может сделать 100 пирожков из 10 кг теста и 8 кг фарша или 100 котлет из 20 кг фарша. На рынке установились такие цены: пирожки стоят 30 руб., котлеты стоят 40 руб.; 1 кг теста — 100 руб., 1 кг фарша — 150 руб.
    1. Что станет готовить и продавать бабушка, и какую прибыль она получит?
    2. Если фарш подорожает на $20\%$, а при этом цена котлет и теста не изменится, при какой минимальной цене пирожков бабушке будет безразлично, что продавать — пирожки или котлеты?


  5. Акционерное общество «Рома & Co» занимается производством мягких игрушек. Постоянные (не зависящие от объёма производства) затраты компании составляют $50\%$ от общих затрат. К переменным затратам относятся: сдельная зарплата, расходы на сырьё и транспорт. Их доли в переменных затратах изначально составляли соответственно $50\%$, $40\%$ и $10\%$. В результате глобальных изменений на мировых рынках через год зарплата выросла на $10\%$, сырьё подорожало на $12,5\%$, транспортные расходы — на $100\%$, а постоянные затраты, количество используемых ресурсов, цена и объём производства мягких игрушек остались неизменными. Как изменилась рентабельность (то есть отношение прибыли к затратам) АО «Рома & Co», если изначально она равнялась $20\%$?

  6. На рынке труда услуг инвестиционных банкиров присутствует один покупатель — инвестиционный банк «Атлант Капитал». Предложение труда обеспечивают три агентства по подбору персонала – «Альфа менеджмент», «Бета менеджмент» и «Дельта менеджмент». Функции предложения кандидатов на позицию инвестиционного банкира от каждого из агентств выглядят следующим образом: \[ \begin{aligned} \text{«Альфа менеджмент»}:&\quad W_i = 25 + 5L_i,\\ \text{«Бета менеджмент»}:&\quad W_i = 10 + 7L_i,\\ \text{«Дельта менеджмент»}:&\quad W_i = 35 + 4L_i. \end{aligned} \] Приведённые функции означают, например, что агентство «Альфа менеджмент» продаст первого кандидата за 30 у.е. в год, а второго кандидата за 35 у.е. в год и т.д. У инвестиционного банка «Атлант Капитал» выделен бюджет на найм новых сотрудников в размере 200 у.е. в год. Какое количество человек наймёт «Атлант Капитал» и сколько заработает каждое агентство по подбору персонала?

  7. Такие разные зрители. Телекомпания, предоставляющая услуги спутникового телевидения, предлагает своим клиентам подписку на два новых телеканала: «Автоспорт» и «Сериалы». Известно, что среди потенциальной аудитории этих каналов имеется две группы потребителей (в каждой группе по 1000 человек), каждый из которых готов заплатить за просмотр телеканала следующую цену (в месяц):





    Телеканалы уже созданы и подключение каждого дополнительного потребителя не требует от телекомпании дополнительных затрат.

    1. Какие цены следует установить телекомпании, чтобы максимизировать ежемесячную прибыль от новых телеканалов, если она не может установить разные цены для разных групп потребителей? Какую прибыль при этом получит телекомпания?
    2. Телекомпания поняла, что она может продавать подписки на телеканалы не только по отдельности, но и в виде пакета «Автосериалы», в который входят именно эти два телеканала. Какие цены ей теперь следует установить? Какую прибыль получит телекомпания?
    3. Как изменится ценовая политика телекомпании и величина её прибыли, если среди потенциальной аудитории новых телеканалов появится третья группа зрителей в количестве 500 человек:





    4. Приведите из реальной жизни пример практики, подобной той, к которой прибегла телекомпания в пункте (b).


  8. Чеканка из каучука. В Бразилии и Аргентине из каучука производятся мячи и галоши. Бразилия обладает 100 единицами каучука, а Аргентина – 500 единицами каучука. Технологии производства в странах также различаются, и они полностью определяют количество каучука, необходимое для производства 1 мяча или 1 галоши в каждой стране:





    В обеих странах мячи и галоши нужны людям в пропорции 1:2 (национальное хобби жителей — чеканить мячиками в галошах, поэтому мячи и галоши традиционно используются в комплектах из одного мяча и двух галош).

    1. Допустим, страны не могут обмениваться ничем. Каково максимальное количество людей, которые могут чеканить мячиками в галошах в каждой из стран и в мире в целом?
    2. Допустим, страны могут обмениваться произведёнными мячами и галошами, но не могут обмениваться каучуком. Каково максимальное количество людей, которые могут чеканить мячиками в галошах в каждой из стран и в мире в целом?
    3. Допустим, страны могут обмениваться не только произведёнными товарами, но также и каучуком. Каково максимальное количество людей, которые могут чеканить мячиками в галошах в каждой из стран и в мире в целом?
    4. Представим себе, что страны могут обмениваться всем: мячами, галошами, каучуком и главное – технологиями производства. Каково максимальное количество людей, которые могут чеканить мячиками в галошах в каждой из стран и в мире в целом?
    5. Объясните, за счет чего меняется объем производства в пунктах (b), (c) и (d). Приведите пример из вашей жизни.


  9. Где построить завод. Страна Экономия имеет форму отрезка, растянувшегося вдоль непреодолимых гор. В этой стране расположены 15 городов, расстояние между которыми различно, а численность населения в каждом городе — одинаковая. Правитель Экономии хочет в одной из точек этой страны (не обязательно в одном из городов) разместить завод по производству полезного вещества, нужного в равном количестве всем жителям Экономии. Каждое утро с завода должны отправляться автомобили, развозящие вещество по городам (каждая машина едет только в один город, а после рейса возвращается на завод). Расходы на перевозку полезного вещества равны количеству километров, которые проезжает машина. Правитель стремится сделать так, чтобы все жители были обеспечены этим веществом, при этом расходы на перевозку были минимальны. Где в таком случае ему следует разместить завод?

  10. ООО «ТОП» производит три товара — томаты, огурцы и перцы. В производстве каждого из трёх товаров используются два расходных материала — удобрения и смесь для полива. Компания, поставляющая эти материалы, уведомила ООО «ТОП», что в следующем месяце она не сможет поставить больше, чем по 5500 единиц каждого из материалов. Других поставщиков компания найти в течение месяца не сможет. Информация о трёх товарах приведена в таблице:





    Определите, сколько каждого из товаров следует произвести фирме, чтобы её прибыль была наибольшей.

  11. Озёрный город. В Озёрном королевстве города расположены вокруг круглого озера (всего городов — 4). Мудрый король хочет построить на озере искусственный остров, так чтобы суммарное расстояние между ним и городами было минимальным. Где королю надо наречь остров? Приведите полное обоснование.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Деньги и дрова.
    Решение: Общее количество дров: $3 + 5 = 8$ поленьев. Каждый участник должен внести эквивалент $\frac{8}{3}$ полена. Маша внесла $3$ полена, что на $3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$ больше. Даша внесла $5$ поленьев, что на $5 - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$ больше. Миша оплатил 8 рублей за $\frac{8}{3}$ полена (средний вклад). Тогда возмещение Маше: $\frac{1}{3} \cdot 3$ руб. (стоимость полена) = $1$ руб. на каждую "лишнею" треть. Маше полагается $3$ руб., Даше $5$ руб.
    Ответ: Маша получает $3$ руб., Даша — $5$ руб.

  2. Антикризисные макароны.
    Решение: Пусть $Q₁$ — исходное количество, $P₁$ — цена, $Q₂ = 1,1Q₁$ — новое количество. Выручка:
    $\begin{cases} Q₁P₁ = 500 \\ 1,1Q₁P₂ = 660 \end{cases}$ $\frac{P₂}{P₁} = \frac{660}{500} \cdot \frac{1}{1,1} = 1,2$. Цена выросла на $20\%$.
    Ответ: $+20\%$.

  3. Антикризисное золото.
    Решение: Пусть начальная сумма S руб. Через год в банке: $S \cdot 1,2$. При росте золота: $S \cdot 1,25 \cdot 0,9 = 1,125S$. Выигрыш: $1,2S - 1,125S = 0,075S (-7,5\%)$.
    Ответ: Проигрыш $7,5\%$ от суммы.

  4. Дилемма пенсионерки.
    Решение:
    1. Прибыль от котлет: $100 \cdot 40 - (20 \cdot 150) = 1000$ руб.
      Ответ: Котлеты, прибыль $1000$ руб.
    2. Новые затраты на фарш: $150 \cdot 1,2 = 180$. Равноприбыль:
      $30x - (10\cdot100 + 8\cdot180) = 40\cdot100 - 20\cdot180 \Rightarrow x = 28,4$ руб.
      Ответ: $28,4$ руб.


  5. Рентабельность АО «Рома & Co».
    Решение: Новые переменные затраты:
    Зарплата: $(0,5\cdot0,5C)\cdot1,1 = 0,275C$
    Сырье: $(0,4\cdot0,5C)\cdot1,125 = 0,253125C$
    Транспорт: $(0,1\cdot0,5C) \cdot 2 = 0,1C$
    Всего: $0,628125C + 0,5C = 1,128125C$
    Прибыль: $1,2C - 1,128125C = 0,071875C$ $(≈6,37\%)$
    Ответ: Рентабельность упала с $20\%$ до $≈6,37\%$.

  6. Найм сотрудников.
    Решение: Суммируем кандидатов от дешевых к дорогим до бюджета $200$:
    «Бета» ($17,24,31$), «Альфа» ($30$), «Дельта» ($39$). Проверка: $17+24+31+30=102$. Бюджет превышен. Ответ остаётся за проверкой всех вариантов (неполное решение в шаблоне).

  7. Такие разные зрители.
    Решение:
    1. Оптимальные цены: «Автоспорт» — $190$ руб., «Сериалы» — $180$ руб. Прибыль: $1000\cdot(190 + 180) = 370 000$ руб.
    2. Пакет: Цена $275$ руб. Прибыль $2000 \cdot 275 = 550 000$ руб.
    3. Добавляем третью группу. Пересчитать цены для максимизации.
    4. Пример: Продажа интернет-пакетов (Триколор, МТС).


  8. Чеканка из каучука.
    Решение:
    1. Бразилия: $20$ комплектов, Аргентина:$83 \Rightarrow$ мировой $= 103$
    2. Специализация: Бразилия — мячи ($100$), Аргентина — галоши $(500\div1=500)$. Макс комплектов: $100$ мячей $100$ людей.
    3. Обмен каучуком: Эффективность увеличивается до $(100+500)\div(5)=120$.
    4. Стандартизация технологий $\Rightarrow 600$ каучука $\div 5 = 120$ комплектов.


  9. Завод в Экономии.
    Ответ: В точке минимальной суммы расстояний до всех городов — медианной точке. Если города упорядочены, завод в центре.

  10. Оптимальное производство ООО «ТОП».
    Решение: Симплекс-метод. Ограничения:
    $8x+10y+8z ≤5500$; $10x+6y+14z ≤5500$; $x≤150$, $y≤200$, $z≤250$.
    Ответ: Максимум прибыли в вершине допустимой области. Предположим $y=0$; $x=150$, $z=(5500-8 \cdot 150) \div 8=537,5$ $\Rightarrow$ не подходит. Проверка других вариантов показывает оптимальные $x=150$, $z=1754$, $y=$... (неполное решение в шаблоне).

  11. Озёрный город.
    Ответ: Геометрический центр окружности (центр озера), где сумма расстояний минимальна.
Материалы школы Юайти