лицей ниу вшэ из 7 в 8 класс 2005 класс вариант 2
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ
2005 год
Вариант ФМШ2005-I-1
- Упростить выражение: $\left(\frac{a b}{25 a^{2}+20 a b+4 b^{2}}-\frac{a}{5 a+2 b}\right) \cdot\left(5+\frac{2 b}{a}\right)^{2}$.
- Решить уравнение: $\frac{3}{x}-\frac{3}{x+4}=1$.
- Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-11 x+30}{x-5} \leq 6 \\ 2 x-15<5\end{array}\right.$.
- Гипотенуза прямоугольного треуг
- Из прямоугольного листа картона, одна из сторон которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры картонного листа, если объём коробки равен $1500 \mathrm{~cm}^{3}$.
- Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $7 .$
- Построить график функции: $y=\left|x^{2}-4 x-5\right|-3$.
- Путь от туристического лагеря до посёлка идёт сначала под гору, а затем в гору, при этом длина всей дороги равна 10 км. Туристы на спуске идут со скоростью, на $2 \mathrm{\kappa}$ м/ч большей, чем на подъёме. Путь от лагеря до посёлка занимает у них 2 ч 48 мин, а обратный путь - 2 ч 32 мин. Определите длину спуска со стороны лагеря и скорости туристов на спуске и на подъёме.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение: $\left(\frac{a b}{25 a^{2}+20 a b+4 b^{2}}-\frac{a}{5 a+2 b}\right) \cdot\left(5+\frac{2 b}{a}\right)^{2}$.
Решение:
Заметим, что $25a^2 + 20ab + 4b^2 = (5a + 2b)^2$.
Преобразуем выражение:
$\left(\frac{ab}{(5a + 2b)^2} - \frac{a}{5a + 2b}\right) \cdot \left(\frac{5a + 2b}{a}\right)^2 = \left(\frac{ab - a(5a + 2b)}{(5a + 2b)^2}\right) \cdot \frac{(5a + 2b)^2}{a^2} = \frac{-5a^2 - ab}{a^2} = -5 - \frac{b}{a}$.
Ответ: $-5 - \dfrac{b}{a}$.
- Решить уравнение: $\frac{3}{x}-\frac{3}{x+4}=1$.
Решение:
Умножим обе части на $x(x+4)$:
$3(x+4) - 3x = x(x+4)$
$12 = x^2 + 4x$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
Дискриминант: $D = 16 + 48 = 64$
Корни: $x = \frac{-4 \pm 8}{2} \Rightarrow x = 2$ или $x = -6$.
Проверка: $x \neq 0$, $x \neq -4$. Оба корня подходят.
Ответ: $2$; $-6$.
- Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-11 x+30}{x-5} \leq 6 \\ 2 x-15<5\end{array}\right.$.
Решение:
Упростим первое неравенство:
$\frac{(x-5)(x-6)}{x-5} \leq 6 \Rightarrow x-6 \leq 6$ при $x \neq 5$
$x \leq 12$, $x \neq 5$.
Второе неравенство: $2x < 20 \Rightarrow x < 10$.
Пересечение решений: $x \in (-\infty; 5) \cup (5; 10)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 5) \cup (5; 10)$.
- Из прямоугольного листа картона, одна из сторон которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры картонного листа, если объём коробки равен $1500 \mathrm{~cm}^{3}$.
Решение:
Пусть меньшая сторона листа — $x$ см, тогда большая — $2x$ см. После вырезания квадратов:
Длина коробки: $2x - 10$ см, ширина: $x - 10$ см, высота: 5 см.
Объём: $(2x - 10)(x - 10) \cdot 5 = 1500$
$(2x - 10)(x - 10) = 300$
$2x^2 - 30x + 100 = 300 \Rightarrow 2x^2 - 30x - 200 = 0$
$x^2 - 15x - 100 = 0$
Дискриминант: $D = 225 + 400 = 625$
Корни: $x = \frac{15 \pm 25}{2} \Rightarrow x = 20$ (отрицательный корень отбрасываем).
Размеры листа: $20$ см и $40$ см.
Ответ: $20$ см и $40$ см.
- Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $7 .$
Решение:
Пусть степени: $2^n$, $2^{n+1}$, $2^{n+2}$.
Сумма: $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7$.
Поскольку $7$ — множитель, сумма делится на $7$.
Доказано.
- Построить график функции: $y=\left|x^{2}-4 x-5\right|-3$.
Решение:
Исходная парабола: $y = x^2 - 4x - 5$ с вершиной в $(2, -9)$ и корнями $x = 5$, $x = -1$.
Модуль отражает отрицательную часть параболы выше оси $OX$: $y = |x^2 - 4x - 5|$.
Сдвиг на $3$ единицы вниз: $y = |x^2 - 4x - 5| - 3$.
Вершина преобразованного графика: $(2, 6)$. Нули функции: $x = 2 \pm \sqrt{6}$, $x = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
График состоит из двух частей параболы: ветви вверх с вершиной $(2, 6)$ и точек пересечения с осью $OX$.
- Путь от туристического лагеря до посёлка идёт сначала под гору, а затем в гору, при этом длина всей дороги равна 10 км. Туристы на спуске идут со скоростью, на $2 \mathrm{~km}$/ч большей, чем на подъёме. Путь от лагеря до посёлка занимает у них 2 ч 48 мин, а обратный путь - 2 ч 32 мин. Определите длину спуска со стороны лагеря и скорости туристов на спуске и на подъёме.
Решение:
Пусть скорость на подъёме — $v$ км/ч, тогда на спуске — $v + 2$ км/ч. Длина спуска от лагеря — $x$ км, подъёма — $10 - x$ км.
Время до посёлка: $\frac{x}{v + 2} + \frac{10 - x}{v} = 2,8$ ч.
Обратный путь: $\frac{x}{v} + \frac{10 - x}{v + 2} = 2\frac{32}{60} \approx 2,533$ ч.
Решая систему уравнений, получаем:
$v = 3$ км/ч (подъём), $v + 2 = 5$ км/ч (спуск), длина спуска $x = 4$ км.
Ответ: спуск — 4 км, скорости — 3 км/ч и 5 км/ч.
Материалы школы Юайти