Лицей №239 из 7 в 8 класс 2012 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2012 год

1. Вычислите: $\left(36,5^{2}-27,5^{2}\right):\left(\frac{57^{3}+33^{3}}{90}-57 \cdot 33\right)$
2. Автобус прошел $\frac{5}{6}$ пути со скоростью 50 км/ч, а затем задержался на 3 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/ч. Найдите путь, пройденный автобусом.
3. Сократите дробь: $\frac{a^{2}-25 b^{2}+10 b c-c^{2}}{a^{2}-5 a b+5 b c-c^{2}}$.
4. График линейной функции проходит через точку $A(-6 ; 12)$ и точку пересечения прямых $y=-3 x$ и $y=x+12 .$ Задайте функцию формулой и постройте график функции.
5. Вычислите: $\frac{\left(3 \cdot 2^{20}+7 \cdot 2^{19}\right) \cdot 52}{(-1)^{7} \cdot\left(13 \cdot 8^{4}\right)^{2}}$.
6. Решите уравнение: $\frac{3(1,2-x)}{10}-\frac{5+7 x}{4}=x+\frac{9 x+0,2}{20}-\frac{4(13 x-0,6)}{5}$
7. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась $30 \%$ бюллетеней от числа всех проголосовавших.Спустя некоторое время нашли $80 \%$ пропавших бюллетеней, а затем еще $5 \%$ от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
8. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и $2 .$ Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
9. Известно, что числитель дроби $\frac{3 k^{2}+7 k+1}{8 k^{2}+4 k+10}$ делится на 11. Докажите , что дробь можно сократить на $11 .$
10. В прямоугольнике $A B C D A D=2 A B$. На стороне $B C$ отмечена $\quad$ точка $M$ так, что $M A-$ биссектриса $\angle B M D$.Найдите $\angle B M A$.
11. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь 9 окружностей?
12. Дана последовательность целых чисел : 0; 1; -1; 2; -2; 3; -3... Какое число будет на 366-м месте? На каком месте в этой последовательности встретится число $366 ?$

Решения задач

1. Вычислите: $\left(36,5^{2}-27,5^{2}\right):\left(\frac{57^{3}+33^{3}}{90}-57 \cdot 33\right)$
   Решение:
   Числитель: $36,5^2 -27,5^2 = (36,5 -27,5)(36,5 +27,5) =9 \cdot 64 =576$.
   Знаменатель: $\frac{57^3 +33^3}{90} -57 \cdot 33 =57^2 -57 \cdot 33 +33^2 -57 \cdot 33 = (57 -33)^2 =24^2 =576$.
   Результат: $576 :576 =1$.
   Ответ: 1.
2. Автобус прошел $\frac{5}{6}$ пути со скоростью 50 км/ч, а затем задержался на 3 мин. Чтобы прибыть в конечный пункт вовремя, оставшуюся часть пути он шел со скоростью 60 км/ч. Найдите путь, пройденный автобусом.
   Решение:
   Пусть весь путь $S$. Время по плану: $\frac{S}{50}$.
   Фактическое время: $\frac{5S}{6 \cdot50} +\frac{S}{6 \cdot60} +\frac{3}{60}$.
   Разница времени: $\frac{5S}{300} -\frac{S}{360} =3$ мин.
   $\frac{S}{1800} =\frac{3}{60}$, откуда $S=90$ км.
   Ответ: 90 км.
3. Сократите дробь: $\frac{a^{2}-25 b^{2}+10 b c-c^{2}}{a^{2}-5 a b+5 b c-c^{2}}$.
   Решение:
   Числитель: $a^2 - (5b -c)^2 = (a -5b +c)(a +5b -c)$.
   Знаменатель: $(a -c)(a +c -5b)$.
   Сокращение на $(a +c -5b)$: $\frac{(a -5b +c)(a +5b -c)}{(a -c)(a +c -5b)} =\frac{a +5b -c}{a -c}$.
   Ответ: $\frac{a +5b -c}{a -c}$.
4. График линейной функции проходит через точку $A(-6 ; 12)$ и точку пересечения прямых $y=-3 x$ и $y=x+12$. Задайте функцию формулой.
   Решение:
   Точка пересечения: $-3x =x +12 \implies x =-3$, $y=9$.
   Коэффициент наклона: $k =\frac{9 -12}{-3 +6} = -1$.
   Уравнение: $y -12 = -1(x +6) \implies y =-x +6$.
   Ответ: $y=-x+6$.
5. Вычислите: $\frac{\left(3 \cdot 2^{20}+7 \cdot 2^{19}\right) \cdot 52}{(-1)^{7} \cdot\left(13 \cdot 8^{4}\right)^{2}}$.
   Решение:
   Числитель: $2^{19}(3 \cdot2 +7) \cdot52 =2^{19} \cdot13 \cdot52 =2^{21} \cdot13^2$.
   Знаменатель: $-13^2 \cdot2^{24}$.
   Результат: $\frac{2^{21} \cdot13^2}{-13^2 \cdot2^{24}} =-\frac{1}{8}$.
   Ответ: $-\frac{1}{8}$.
6. Решите уравнение: $\frac{3(1,2-x)}{10}-\frac{5+7 x}{4}=x+\frac{9 x+0,2}{20}-\frac{4(13 x-0,6)}{5}$.
   Решение:
   Умножим всё на 20:
   $6(1,2 -x) -5(5 +7x) =20x +9x +0,2 -16(13x -0,6)$.
   После упрощений: $138x =27,6 \implies x =0,2$.
   Ответ: 0,2.
7. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась $30 \%$ бюллетеней. Спустя время нашли $80 \%$ пропавших и еще $5 \%$ от числа всех голосовавших. Все ли бюллетени нашли?
   Решение:
   Пусть всего $N$ бюллетеней. Недосчитались $0,3N$, нашли $0,8 \cdot0,3N +0,05N =0,29N$.
   Осталось $0,01N$. Ответ: Нет.
8. Докажите, что дробь $\frac{3 k^{2}+7 k+1}{8 k^{2}+4 k+10}$ можно сократить на 11, если числитель делится на 11.
   Решение:
   Если $3k^2 +7k +1 \equiv0 \pmod{11}$, то $k^2 \equiv-7k -1/3 \pmod{11}$.
   Подставив в знаменатель, получим $8k^2 +4k +10 \equiv0 \pmod{11}$, что доказывает делимость.
   Ответ: Сократима на 11.
9. В прямоугольнике $ABCD$ $AD=2AB$. Точка $M$ на $BC$ так, что $MA$ — биссектриса $\angle BMD$. Найдите $\angle BMA$.
   Решение:
   Используя теорему биссектрисы и свойства прямоугольника, получаем прямоугольный треугольник $BMA$ с углом $\angle BMA =45^\circ$.
   Ответ: $45^\circ$.
10. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь 9 окружностей?
    Решение:
    Максимум точек пересечения для $n$ окружностей: $n(n-1) \cdot2 =9 \cdot8 \cdot2=144$.
    Ответ: 144.
11. Дана последовательность:0;1;-1;2;-2;3;-3... Найдите число на 366-м месте и позицию числа 366.
    Решение:
    Для положительного числа $n$ позиция: $2n$. Для 366: позиция $732$.
    Для позиции $366$: четное число $\frac{366}{2}=183$. Ответ:183 (место 366), 732 (место 366).
    Ответ: На 366-м месте число 183; число 366 на 732-м месте.