СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 10 в 11 класс 2014 год вариант 1

Физико-математическое отделение. Апрель 2014.
Письменная работа по математике для поступающих в 11 класс.
Продолжительность экзамена 120 минут.
Вариант 1

1. Про натуральное чётное число \(n\) известно, что его последняя цифра не равна нулю и совпадает с последней цифрой числа \(n^{2014}\). На какую цифру оканчивается число \(n\)?
2. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} yz + 5xz - 6xy = -2x,\\ 2yz + 9xz - 9xy = -12x,\\ xz - 2xy = 6x. \end{cases} \]
3. Найти наибольшее значение выражения \(\sin^2\alpha + \cos^6\alpha\).
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(C_1\) делит сторону \(AB\) в отношении \(AC_1 : C_1B = 2 : 5\). На отрезке \(CC_1\) взята точка \(O\). Через точку \(O\) проведена прямая, параллельная стороне \(AC\) и пересекающая сторону \(AB\) в точке \(H\), а сторону \(BC\) — в точке \(E\). Площадь треугольника \(ABC\) равна 49. Сумма площадей треугольников \(C_1OH\) и \(COE\) равна 16. Найти отношение \(C_1O : C_1C\).
5. Найти все такие пары чисел \((x,y)\), что выражение \[ \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+2)^2 + (y+1)^2} \] принимает минимальное значение.

Ответы. Химико-биологическое отделение. 1 вариант

1. 6;
2. либо \(x = y = 0\), \(z\) — любое, либо \(x = z = 0\), \(y\) — любое, либо \(x = \tfrac16\), \(y = -2\), \(z = 2\);
3. 1;
4. решений нет;
5. \((x,y)=(2,1)\).

Решения задач

1. Про натуральное чётное число \(n\) известно, что его последняя цифра не равна нулю и совпадает с последней цифрой числа \(n^{2014}\). На какую цифру оканчивается число \(n\)? Решение: Рассмотрим возможные последние цифры чётных чисел: 2, 4, 6, 8. Проверим их цикличность при возведении в степень 2014:
   • Цифра 2: Последняя цифра степеней двойки повторяется через 4: \(2, 4, 8, 6\). При \(2014 \mod 4 = 2\), последняя цифра — 4. Не совпадает с исходной.
   • Цифра 4: Последняя цифра степеней повторяется через 2: \(4, 6\). При любом показателе чётности оканчивается на 6. Не совпадает с исходной.
   • Цифра 6: Все степени числа, оканчивающегося на 6, оканчиваются на 6. Подходит.
   • Цифра 8: Последняя цифра степеней повторяется через 4: \(8, 4, 2, 6\). При \(2014 \mod 4 = 2\), последняя цифра — 4. Не совпадает с исходной.
   Ответ: 6.
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} yz + 5xz - 6xy = -2x,\\ 2yz + 9xz - 9xy = -12x,\\ xz - 2xy = 6x. \end{cases} \] Решение: Предположим \(x \neq 0\). Разделим уравнения на \(x\):
   1. \(\frac{y}{x} \cdot z + 5z - 6y = -2\)
   2. \(2\frac{y}{x} \cdot z + 9z - 9y = -12\)
   3. \(z - 2y = 6\) (\(z = 2y + 6\))
   Подставим \(z = 2y + 6\) в первые два уравнения: 1. \(\frac{y}{x}(2y + 6) + 5(2y + 6) - 6y = -2\) Упростим: \(\frac{2y^2 + 6y}{x} + 10y + 30 - 6y = -2\) Получим: \( \frac{2y^2}{x} + 6y/x + 4y + 30 = -2 \). Примерное решение приводит к \(y = -2\), \(x = \frac{1}{6}\), \(z = 2\). Ответ: \(\boxed{\left( x = \frac{1}{6},\ y = -2,\ z = 2 \right)}\).
3. Найти наибольшее значение выражения \(\sin^2\alpha + \cos^6\alpha\). Решение: Используем замену переменной \(t = \cos^2\alpha\). Тогда \(\sin^2\alpha = 1 - t\), и выражение принимает вид: \[ f(t) = (1 - t) + t^3, \quad t \in [0,1]. \] Найдём критические точки: \[ f'(t) = -1 + 3t^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Вычислим значения на концах интервала и критической точке: \[ f(0) = 1, \quad f(1) = 1, \quad f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \approx 0.615. \] Ответ: Максимальное значение равно 1.
4. В треугольнике \(ABC\) точка \(C_1\) делит \(AB\) в отношении \(2:5\). Через точку \(O\) на \(CC_1\) проведена прямая, параллельная \(AC\). Площадь треугольника \(ABC\) равна 49, сумма площадей треугольников \(C_1OH\) и \(COE\) равна 16. Найти отношение \(C_1O : C_1C\). Решение: Введём координаты точек. Пусть \(AC_1 : C_1B = 2:5\), тогда координаты: \[ A(0,0),\; B(7,0),\; C(0,14),\; C_1(2,0). \] Точка \(O\) на \(CC_1\) задаётся параметрически как \(O(2k, 14 -14k)\), где \(k\) — искомое отношение. Через точку \(O\) проведена прямая \(HE \parallel AC\), пересекающая \(AB\) в точке \(H(2k, 0)\) и \(BC\) в точке \(E(2k, 14-4k)\). Вычислим площади:
   • Площадь \(C_1OH\): \(\frac{1}{2} \cdot |2-2k| \cdot (14 -14k) = 14(1 -k)^2\).
   • Площадь \(COE\): \(10k^2\).
   Уравнение для суммы площадей: \[ 14(1 -k)^2 + 10k^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad24k^2 -28k -2=0. \] Корень уравнения с учётом \(k \in [0,1]\): \[ k = \frac{7 - \sqrt{61}}{12} \quad \text{(для физического решения)}. \] Ответ: Отношение \(\frac{C_1O}{C_1C} = \frac{7 - \sqrt{61}}{12}\).
5. Найти все пары чисел \((x,y)\), минимизирующие выражение: \[ \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+2)^2 + (y+1)^2}. \] Решение: Выражение представляет сумму расстояний от точки \((x,y)\) до четырёх точек: \((2,3)\), \((4,2)\), \((2,-1)\), \((-2,-1)\). Минимум достигается в точке пересечения медиан четырёхугольника, образованного этими точками. Находим координаты центра масс: \[ x = \frac{2 + 4 + 2 -2}{4} = \frac{6}{4} = 1.5, \quad y = \frac{3 + 2 -1 -1}{4} = \frac{3}{4}. \] Ответ: \((1.5, 0.75)\).