Самостоятельная подготовка к ЕГЭ по математике: что важно знать в ноябре

В сентябре, после начала нового учебного года, многие одиннадцатиклассники приступают к подготовке к ЕГЭ. Может казаться, что времени ещё много, но это ощущение бывает обманчивым.

Десятиклассникам в этом смысле чуть проще: они только что готовились к ОГЭ, сдали экзамены, получили оценки — и появляется ощущение свободы. Можно расслабиться летом, ведь пройден довольно серьёзный контрольный этап. С сентября начинается обучение по выбранному профилю, появляются новые разделы математики, в том числе стереометрия. Но учёба может начинаться медленно: до следующего экзамена почти два года. Родители и учителя говорят, что пора готовиться, а сам школьник пока не ощущает срочности.

В 11 классе сложнее: один год — не два, но ощущение, что экзамен далеко, всё ещё сохраняется. Между тем от сентября до конца мая всего девять месяцев. Часть этого времени приходится на каникулы, праздники и другие школьные дела. Рассчитывать на одинаково интенсивную подготовку весь год трудно.

Нехватка времени начинает ощущаться после первых контрольных и пробников. Закончилась четверть, результат оказался ниже ожидаемого — тревога подступает.

Дальше придётся начинать подготовку, но с чего — ясности нет. Материалов много, а без структуры в них трудно разобраться. Непонятно, за что зацепиться и какой шаг сделать первым.

Разберём, как начать подготовку к профильному ЕГЭ по математике, проверить знания и составить план ближайших занятий.

Почему обещание «начну с понедельника» не становится планом

Для школьника «начну готовиться» может оставаться удобной отговоркой. Возможно, в голове действительно есть планы и надежда на себя, но до конкретных действий дело не доходит. Оно и понятно: нет ясного представления, с чего начать и к чему подступиться.

Выбрать тему без проверки знаний можно, но легко ошибиться: повторять уже известное, оттачивать навыки, с которыми нет серьёзных проблем, либо браться за многоступенчатые задачи без знания основ. Это расстраивает и не помогает на и без того сложном пути подготовки.

Составить большой план до конца мая — хорошо, но приступить к нему в назначенную дату бывает трудно. Особенно если непонятно, что делать на первом занятии.

Почему мы откладываем даже понятные действия и как с этим связаны страх ошибки и перфекционизм, разберём в этой статье.

Пять вопросов перед началом подготовки к ЕГЭ по математике

1. Когда начинать и чем отличаются 10 и 11 классы?

В 10 классе впереди ещё один учебный год. Можно глубже повторить основы, изучить больше приёмов без спешки и давления выпускного класса. Особенно полезно определить приоритеты: для чего нужна математика, какой результат хочется получить и какие знания стоит укрепить в первую очередь.

В 11 классе времени меньше, поэтому важнее быстрее перейти к диагностике и регулярным занятиям.

С новым учеником мы начинаем с проверки знаний на основе первой части ЕГЭ. По отдельным позициям предлагаем несколько разных заданий, чтобы посмотреть, насколько уверенно ученик работает с темой и справляется с изменением условия. Если остаётся время, обсуждаем или частично решаем вторую часть.

Первая часть хорошо показывает многие пробелы в вычислениях, преобразованиях, функциях и геометрии. Умение подробно обосновывать решение проверяем отдельно.

2. Как определить свой уровень?

Один из первых шагов — самостоятельно решить диагностический вариант. Посмотреть, какие задания понятны, а какие вызывают трудности, ознакомиться со структурой экзамена.

Необязательно начинать с варианта целиком. Можно сначала проверить конкретный навык: работу с дробями, степенями или формулами сокращённого умножения.

После проверки полезно разделить ошибки:

• не знаю тему или метод;
• знаю тему, но не понимаю, как применить её в этой задаче;
• понимаю решение, но ошибаюсь в вычислениях;
• неверно прочитал условие;
• не успел или слишком долго выбирал подход.

По нескольким самостоятельным работам и разбору ошибок можно составить конкретный список для повторения.

Ещё не изученная тема — не повод пугаться: до неё можно дойти по школьной программе или включить её в план подготовки. Важно понимать, когда это произойдёт. Забытые основы требуют более быстрого внимания: они мешают и на экзамене, и при изучении нового материала.

3. В каком порядке изучать темы и когда подключать сложные задачи?

Лучше начать с самых простых прототипов и проверки основ математики. Вспомнить дроби, проценты, действия с отрицательными числами. Проверить, получается ли подставлять числа в формулы и выражать неизвестную величину. Эти навыки понадобятся и в прикладной задаче, и в уравнениях, и в финансовой математике.

Дальше — многочлены, формулы сокращённого умножения, степени и их свойства, разложение на множители. Затем линейные уравнения и системы, квадратные корни, квадратные уравнения, дискриминант и теорема Виета. Если здесь всё получается уверенно, можно двигаться дальше. Если ошибка повторяется — возвращаемся к конкретному навыку и отрабатываем его.

Отдельно проверяем функции и графики: прямую, параболу, обратную пропорциональность. Нужно уметь читать график, находить точки пересечения, понимать, как он меняется при переносе, растяжении или сжатии. Это пригодится и в первой части, и позже в задачах с параметрами.

После основных уравнений подключаем более сложные преобразования, замену переменной и метод интервалов. ОДЗ разбираем по мере появления дробей, корней и логарифмов. Важно понимать, откуда берутся ограничения и на каком шаге можно потерять корень или получить лишний.

Текстовые задачи тоже стоит тренировать с самого начала. Учимся выбирать неизвестную, составлять таблицу и уравнение, проверять ответ по смыслу. Если уравнение составлено, но дальше решение не идёт, смотрим, чего именно не хватает: вычислений, преобразований или знания метода. К финансовым задачам пригодятся проценты и прогрессии, но сначала нужно разобраться, как по условию меняются долг, платёж или вклад.

Тригонометрию начинаем с прямоугольного треугольника: что такое синус, косинус и тангенс. Затем переходим к окружности, формулам, преобразованиям и уравнениям. При работе с логарифмами сначала разбираемся с определением, ограничениями и свойствами, затем тренируем вычисления и простые уравнения. Производную и её применение подключаем по мере изучения функций и школьной программы.

Сразу браться за сложные параметры или комбинированные неравенства без этой основы трудно.

Например, если ученик не видит квадратное уравнение после замены переменной, одной тренировки сложных заданий будет мало. Нужно вернуться к квадратным уравнениям, отработать их и затем снова попробовать замену. Аналитический и графический методы для параметров, рационализацию подключаем после освоения необходимых для них тем.

Повторять всё подряд необязательно. По диагностике может выясниться, что знакомство с темой есть и основные задания получаются. Тогда дальнейшую практику переносим в домашние работы и периодически к ней возвращаемся.

Геометрию тоже разбираем от основ: углы, треугольники, медианы, биссектрисы и высоты, равенство и подобие, четырёхугольники, площади и окружность. Затем — пространственные фигуры, взаимное расположение прямых и плоскостей, сечения, объёмы и метод координат. Теоремы Чевы и Менелая можно подключать при работе с более сложной планиметрией.

Для одиннадцатиклассника ноябрь — хорошее время для системной работы со второй частью. Начать в январе ещё можно, а в марте придётся гораздо строже выбирать приоритеты. Доступные задачи можно пробовать раньше, как только освоены необходимые темы.

Во второй части необязательно сразу решать каждую задачу полностью. Частичное решение тоже может принести баллы, если соответствует критериям:

• По нашим наблюдениям, первый пункт планиметрической задачи чаще доступнее второго. Для доказательства могут понадобиться несколько теорем и дополнительное построение, поэтому не стоит отказываться от всей задачи, если второй пункт пока кажется слишком сложным.
• В задаче на числа и их свойства пригодятся методы, знакомые по олимпиадной математике: анализ чётности, делимости и остатков, оценки и неравенства, организованный перебор, построение примеров. Отдельные пункты могут оказаться доступными раньше, чем полное решение.

4. Сколько часов в неделю нужно заниматься?

Частоту занятий лучше выбирать после диагностики. Сильному самостоятельному ученику может хватать двух часов с преподавателем в неделю. Если требуется больше объяснений и сопровождения, занятия могут занимать четыре–пять часов. Самостоятельной работы при этом нужно как минимум столько же. Нагрузка сильно зависит от исходной базы, цели и самостоятельности ученика.

В 10 классе больше времени на восстановление основ, меньше необходимости постоянно решать полные варианты. В 11 классе приходится учитывать ещё и скорость, оформление и устойчивость результата.

Перегруженный план — это попытка хвататься за всё сразу. Полезнее выделить несколько направлений, а к уже освоенным темам периодически возвращаться.

5. Как понять, что подготовка приносит результат?

Мало знать решение нескольких прототипов. Особенно ненадёжно заучивать его: небольшое изменение условия можно не заметить или не понять.

Для первой части можно начать с открытого банка заданий ФИПИ: изучаем, пробуем, отслеживаем ошибки, переделываем. Когда стандартные задания получаются уверенно, можно переходить к задачам сложнее обычных заданий ЕГЭ — осваивать новые приёмы и искать более короткие решения.

Показатель готовности — самостоятельное решение новых задач этого типа, в том числе спустя некоторое время после изучения.

Одиннадцатиклассникам рекомендуем включать в подготовку еженедельные варианты, если остаётся время на разбор и тематическую работу. Десятиклассникам — примерно раз в месяц, а при достаточном времени можно раз в две–три недели.

Взгляд репетитора: три ошибки в оценке своей подготовки

Переоценивает знания

Когда школьная оценка высокая, уверенность в себе тоже растёт. Это помогает, но хорошие оценки ещё не показывают, насколько уверенно ученик справляется с экзаменационными заданиями.

Иногда серьёзные пробелы из программы 4–6 классов долго остаются незамеченными. При разборе уравнений и неравенств может выясниться, что старшеклассник забывает о неправильных дробях и старается все вычисления выполнять в десятичных. Это особенно мешает, когда дробь нельзя записать в виде конечной десятичной.

Тогда план меняется: важно вернуться к пропущенным или забытым темам. Это помогает быстрее справляться с вычислениями и замечать способы сократить решение.

Смотреть разборы полезно: можно увидеть новый подход, понять ход решения, рассмотреть ошибки. Главное — не остановиться на этом. Понять чужое решение ещё не значит суметь воспроизвести его самостоятельно. Переписывание тоже не подтверждает понимания.

Следующий шаг — самостоятельно решить похожую задачу. А к разобранной вернуться примерно через неделю и попробовать решить её без подсказок.

Недооценивает знания

Первые пробники могут создавать обманчивое впечатление о подготовке. По моим наблюдениям, работы СтатГрада обычно сложнее ЕГЭ. Даже сильный ученик может испугаться результата и решить, что совсем ничего не понимает.

После неудачной работы нужно посмотреть на неё под другим углом: почему балл оказался невысоким?

В двух заданиях могли возникнуть вычислительные ошибки. В другом не усвоился метод. Где-то не зачли решение из-за отсутствия пояснения. А до части задач второй части ученик пока вообще не дошёл в подготовке. Это разные причины, и работать с ними нужно по-разному.

Если в текстовой задаче не получается дойти до ответа, ищем конкретное место затруднения. Не удаётся составить уравнение, значит работаем с переводом условия на язык математики. Уравнение составлено, но ученик не узнаёт квадратное — повторяем преобразования и методы решения. Если часто ошибается в числах, стоит отдельно потренировать вычисления.

Не стоит после одного пробника возвращаться к самому началу подготовки. Сначала разбираем ошибки, затем проверяем проблемные навыки на других заданиях.

Неправильно расставляет приоритеты

Некоторые школьники хотят сразу готовиться к самым сложным заданиям: параметрам и задачам на числа. Они дают много первичных баллов, но могут требовать значительного времени на подготовку.

В процессе обнаруживается многое: неумение определять ОДЗ, незнание определения и свойств логарифма, другие подзабытые навыки. План приходится пересматривать: восстанавливать то, без чего не получается продвинуться в выбранных задачах.

При этом не нужно ждать идеального знания всей первой части, чтобы открыть вторую. Важно проверить основы, необходимые для конкретной задачи.

Поздний старт: случай из практики

Самый поздний старт, который я видел: ученик пришёл в группу в марте и хотел получить минимально необходимый результат. Группа уже заканчивала разбор второй части, а у него были серьёзные пробелы в материале после 7 класса.

Программу группы мы не меняли. Для него подобрали материалы с теорией и большой объём самостоятельной практики. Когда группа перешла к постоянным самостоятельным тренировкам, с ним отдельно обсуждали сложные моменты, выделяли слабые темы и работали на тренажёрах.

В интенсивном темпе он освоил почти всю первую часть и получил около 60 баллов. Радость в его глазах я не забуду никогда!

Как составить план подготовки к ЕГЭ на две недели

Не нужно пытаться исправить сразу и всё. Выбери два–три связанных навыка, которые сейчас мешают продвигаться дальше.

Если тема совсем незнакома, сначала нужны объяснение, определения и разобранные примеры. Затем самостоятельная практика. Для повторения знакомого материала я ориентируюсь примерно на 20% теории и 80% практики, но при обнаружении серьёзных пробелов соотношение меняется.

Если ошибка повторяется, можно сразу приступать к разбору и тематическим тренажёрам. Три и более повторения — явный сигнал, но ждать третьей ошибки необязательно.

Пример: дробно-рациональные неравенства

Допустим, на диагностике выяснилось, что одиннадцатиклассник уверенно решает квадратные уравнения, но ошибается в дробно-рациональных неравенствах: забывает исключать нули знаменателя, путается в знаках и неверно записывает границы промежутков.

Начинать всю алгебру заново не нужно. Цель на две недели — научиться самостоятельно решать такие неравенства и объяснять, почему каждая граничная точка входит или не входит в ответ.

Пример нагрузки: два занятия с преподавателем по часу и два самостоятельных занятия по полтора часа в неделю. Самостоятельную работу можно разделить на более короткие подходы.

Когда	Что делаем	Что проверяем
Неделя 1. Занятие с преподавателем — 1 час	Разбираем ошибки диагностики. Повторяем ограничения, нули числителя и знаменателя, метод интервалов.	Понимает ли ученик, откуда берутся точки на числовой прямой и чем они различаются.
Неделя 1. Самостоятельная работа — 1,5 часа	Решаем подборку на ограничения и знаки выражений, затем несколько неравенств. Сохраняем все попытки решения.	Где ошибка повторяется без подсказки.
Неделя 1. Занятие с преподавателем — 1 час	Разбираем затруднения. При необходимости отдельно отрабатываем дроби или разложение на множители.	Получается ли применить разобранный приём в новой задаче.
Неделя 1. Самостоятельная работа — 1,5 часа	Решаем новые неравенства и повторно — часть ранее ошибочных, не заглядывая в разбор.	Получается ли пройти всё решение самостоятельно.
Неделя 2. Занятие с преподавателем — 1 час	Добавляем строгие и нестрогие неравенства, повторяющиеся множители, сокращения с сохранением ограничений.	Замечает ли ученик изменения условий и учитывает ли их.
Неделя 2. Самостоятельная работа — 1,5 часа	Решаем смешанную подборку уравнений и неравенств.	Получается ли выбрать метод без подсказки названием темы.
Неделя 2. Занятие с преподавателем — 1 час	Проводим короткую проверку на новых заданиях. Разбираем оставшиеся трудности.	Сохранились ли ошибки в ограничениях, знаках и записи ответа.
Неделя 2. Самостоятельная работа — 1,5 часа	Закрепляем слабые места. Добавляем несколько заданий из ранее освоенных тем.	Получается ли работать без подсказок и сохранять другие навыки.

Через две недели проверяем, получается ли самостоятельно выбрать метод, учесть ограничения и правильно записать ответ.

Если ошибка остаётся, уточняем её причину и корректируем задания. Если навык закрепился, двигаемся дальше, а через три–четыре недели возвращаемся к нему для повторной проверки.

Что делать, если пропустил несколько недель

После перерыва сначала проверяем, что сохранилось, а какие навыки нужно восстановить. Затем пересматриваем ближайшие задания и сроки.

Иногда можно увеличить частоту занятий или объём домашней работы, но с учётом других экзаменов, школы и отдыха. Цель подготовки может остаться прежней, а путь к ней придётся скорректировать. Необязательно пытаться выполнить весь накопившийся объём за несколько дней.

Не жди понедельника — начни сейчас

Например, проверь, понимаешь ли ты, что такое логарифм. Это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число: если 2³ = 8, то логарифм от 8 по основанию 2 равен 3.

Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — положительным.

Посмотри определение, ограничения и свойства. Затем самостоятельно вычисли несколько логарифмов и реши простое уравнение. Если эту тему ещё не проходили, выбери знакомый пункт из чек-листа.

Начни с одного навыка. Проверь, что получается, и выбери задачу для ближайшего занятия!

Готовиться к ЕГЭ можно интересно и без стресса!
Присоединяйся к нашим группам →