Лицей №1511 из 9 в 10 класс 2021 год 2 этап

ЛИЦЕЙ №1511 ПРИ МИФИ

2021 год

2 этап

1. (10 баллов) На плоскости заданы квадрат \(D\colon\) \[ 3 \le x \le 7,\quad 1 \le y \le 5, \] и прямая \(L\colon y = k(x+3) + 1\).
   1. В каком отношении прямая \(L\) делит площадь квадрата \(D\) при \(k = \tfrac{4}{9}\)? В ответе укажите отношение большей площади к меньшей.
   2. При каком значении \(k\) прямая \(L\) делит площадь квадрата \(D\) пополам?
   
   
   
2. (10 баллов) Длины сторон треугольника \(ABC\) соответственно равны \(AB = 12\), \(BC = 9\), \(AC = 7\). Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), касается сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) в точках \(P\), \(Q\) и \(R\), соответственно.
   1. Найдите площадь треугольника \(PAR\).
   2. Найдите длину отрезка \(PR\).

Решения задач

1. 1. Площадь квадрата \(D\) равна \(4 \times 4 = 16\). При \(k = \frac{4}{9}\) прямая \(L\) пересекает квадрат в точках \((3; \frac{11}{3})\) и \((6; 5)\). Площадь части квадрата ниже прямой: \[ \text{Площадь трапеции} = \int_{3}^{6} \left(\frac{4}{9}(x+3) + 1 - 1\right) dx = \frac{4}{9} \int_{3}^{6} (x+3) dx = 10. \] Плюс площадь прямоугольника \(6 \le x \le 7\): \[ 4 \times 1 = 4. \] Общая площадь ниже прямой: \(10 + 4 = 14\). Оставшаяся площадь: \(16 - 14 = 2\). Отношение: \(\frac{14}{2} = 7:1\).
      
      Ответ: \(7:1\).
      
      
   2. Для деления площади пополам площадь под прямой должна быть \(8\). Прямая пересекает стороны \(x=3\) и \(x=7\) в точках \( (3; 6k + 1) \) и \( (7; 10k + 1) \). Уравнение баланса площадей: \[ 2(6k + 1 + 10k + 1) = 8 \implies 16k + 2 = 4 \implies k = \frac{1}{8}. \] Ответ: \(k = \frac{1}{8}\).
   
   
   
2. 1. Полупериметр треугольника \(ABC\): \(p = \frac{12 + 9 + 7}{2} = 14\). Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{14(14-12)(14-9)(14-7)} = 14\sqrt{5}. \] Отрезки касательных: \(AP = AR = p - BC = 5\). Координаты точек \(P(5; 0)\) и \(R\left(\frac{10}{3}; \frac{5\sqrt{5}}{3}\right)\). Площадь треугольника \(PAR\): \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| \vec{AP} \times \vec{AR} \right| = \frac{25\sqrt{5}}{6}. \] Ответ: \(\frac{25\sqrt{5}}{6}\).
      
      
   2. Длина отрезка \(PR\): \[ PR = \sqrt{\left(5 - \frac{10}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{5\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \frac{5\sqrt{6}}{3}. \] Ответ: \(\frac{5\sqrt{6}}{3}\).