Школа №1529 из 5 в 6 класс демовариант

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность составить представление о структуре работы, количестве заданий, их форме, уровне сложности.

Часть 1 (задания с 1 по 15) на 45 минут

При выполнении заданий 1–4, 6, 8–11 обведите номер правильного ответа. Выполняя задания 5, 7, 12–15 впишите ответ в указанное место. Задания 13–15 выполните на отдельном листе.

1. На каком рисунке изображены точки \(B(7)\) и \(A(3)\)?
   
   
   
2. Найдите сумму чисел \(3419854\) и \(1108769\).
   
   
   
3. Найдите разность чисел \(987511\) и \(987512\).
   
   
   
4. Выпишите: \(507 * 308\).
   1. 17556
   2. 19266
   3. 151656
   4. 154156
   
   
   
5. Выпишите: \(18252 : 36\).
   
   
   
6. В записи двух четырёхзначных чисел \(10*9\) и \(10*4*01\) вместо некоторой цифры поставили «\(*\)». Сравните данные числа. Стало это возможно?
   1. \(10*9 > 10*4*01\)
   2. \(10*9 < 10*4*01\)
   3. \(10*9 = 10*4*01\)
   4. сравнить нельзя
   
   
   
7. В микроавтобус можно посадить не более 15 человек. Какое наименьшее число таких микроавтобусов понадобится для одновременной перевозки 170 человек? Объясните своё решение.
   
   
8. Из трёх приведённых только одно равенство верно. Не выполняя вычислений, найдите его и обведите свой выбор.
   1. \(2016 : 32 = 603\)
   2. \(916 - 28 = 558\)
   3. \(2107 : 43 = 49\)
   
   
   
9. Вычислите: \(3^5\).
   1. 45
   2. 30
   3. 225
   4. 75
   
   
   
10. Не выполняя вычислений, укажите, какое из выражений равно выражению \[ 915 - 354 - 278. \]
    1. \(915 - (354 - 278)\)
    2. \(915 - (354 + 278)\)
    3. \(915 - 354 + 278\)
    4. \((915 - 354) - 278\)
    
    
    
11. Найдите значение выражения \[ 47 + 41 - 27 - 17. \]
    
    
12. Выполните действие: \(972 : 9 : 3\).
    
    
    
13. Запишите число сто тридцать семь тысяч восемьсот семь. Из какого числа оно получилось путём уменьшения количества десятков тысяч на 7? Приведите подробное решение.
    
    
14. Моторная лодка плывёт навстречу друг другу вперёд и назад. Сейчас расстояние между ними 84 км. Скорость пешехода 5 км/ч, скорость мотоциклиста 11 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? Ответ: км.
    
    
15. Петя задумал число. Если к этому числу прибавить 128 и полученный результат умножить на 6, то получится 968. Какое число задумал Петя? Ответ:

Часть 2 (задания с 16 по 30) на 45 минут

При выполнении заданий 16, 19–21, 23 и 24 обведите номер правильного ответа. При выполнении заданий 17, 18, 22, 25–27 впишите ответ в указанное место. Задания 28–30 выполните на отдельном листе.

1. На каком рисунке заштрихована $\tfrac{1}{5}$ часть фигуры?
   
   
   
2. Отметьте на координатном луче точку $A\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)$.
   
   
   
3. В записи одной из дробей вместо цифры стоит знак «*». Сравните дроби: \[ \frac{300}{637}\;\underline{\phantom{}}\;\frac{3*1}{637}. \]
   
   
4. Какие из дробей $\displaystyle \frac{9}{8};\;\frac{8}{9};\;\frac{1}{1};\;\frac{41}{141}$ являются неправильными?
   1. $\tfrac{9}{8}$; $\tfrac{41}{141}$
   2. $\tfrac{9}{8}$; $\tfrac{1}{1}$; $\tfrac{41}{141}$
   3. $\tfrac{8}{9}$; $\tfrac{41}{141}$
   4. $\tfrac{9}{8}$; $\tfrac{1}{1}$
   
   
   
5. Чему равна сумма чисел $\tfrac{9}{16}$ и $\tfrac{3}{16}$?
   1. $\tfrac{6}{16}$
   2. $\tfrac{12}{16}$
   3. $\tfrac{13}{16}$
   4. $\tfrac{12}{32}$
   
   
   
6. Выделите целую часть из неправильной дроби $\displaystyle \frac{17}{5}$.
   1. $2\;\tfrac{7}{5}$
   2. $2\;\tfrac{3}{5}$
   3. $3\;\tfrac{2}{17}$
   4. $3\;\tfrac{2}{5}$
   
   
   
7. Вычислите: \[ 4\;\tfrac{7}{15}\;-\;2\;\tfrac{13}{15}. \]
   
   
8. Укажите верную запись десятичной дроби «ноль целых тридцать семь тысячных».
   1. $0,37$
   2. $0,00037$
   3. $0,0037$
   4. $0,037$
   
   
   
9. В какой строчке числа расположены в порядке убывания?
   1. $4,597;\;4,5902;\;4,59$
   2. $4,597;\;4,59;\;4,5902$
   3. $4,59;\;4,5902;\;4,597$
   4. $4,5902;\;4,59;\;4,597$
   
   
   
10. Вычислите: $56,7 + 5,38$.
    
    
11. Вычислите: $0,34 \cdot 0,8$.
    
    
12. Найдите частное чисел $0,765$ и $0,25$.
    
    
13. Вычислите наиболее удобным способом: \[ 17,4 + 1,5 + 17,4 \cdot 3,5. \] Объясните свои действия.
    
    
14. 1. Найдите площадь квадрата со стороной $1,7$ см.
    2. Округлите результат до целых.
    
    
    
15. Одно число больше другого в $2{,}5$ раза, а их среднее арифметическое равно $35$. Найдите эти числа. Приведите подробное решение.

Часть 3 (задания с 31 по 45) на 45 минут

При выполнении заданий 31–35, 41 и 42 обведите номер правильного ответа. При выполнении заданий 36–38 и 40 впишите ответ в указанное место. Построение в задании 43 выполните в тесте. Задания 39, 44 и 45 выполните на отдельном листе.

1. Выразите десятичную дробь 0,75 в процентах.
   1. 75\%
   2. 7,5\%
   3. 0,75\%
   4. 0,075\%
   
   
   
2. Представьте в виде десятичной дроби 125\%.
   1. 0,125
   2. 1,25
   3. 12,5
   4. 125
   
   
   
3. Объём пустой цистерны 255 л. Цистерну наполнили водой на 60\%. Сколько литров воды в цистерне?
   1. 425 л
   2. 1530 л
   3. 42,5 л
   4. 153 л
   
   
   
4. Петя прочитал 36 страниц, что составляет 30% страниц книги. Сколько страниц в книге?
   1. 120 страниц
   2. 66 страниц
   3. 108 страниц
   4. 90 страниц
   
   
   
5. В классе 25 учеников, из них 16 получили за контрольную работу «пятёрки». Сколько процентов учеников класса получили «пятёрки»?
   1. 40\%
   2. 64\%
   3. 156,25\%
   4. 60\%
   
   
   
6. Туристическая фирма организует трёхдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 2500\,р. Группам предоставляются скидки: группе от 3 до 10 человек — 5\%, группе более 10 человек — 10\%. Сколько рублей нужно заплатить за экскурсию группе из 8 человек?
   
   
   
7. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDMKSP$ (см. рисунок). Какие рёбра равны ребру $AD$?
   
   
   
8. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, основание которого — квадрат со стороной 4\,см, а высота равна 6\,см.
   
   
   
9. Из куба с ребром, равным 7\,см, вырезали прямоугольный параллелепипед, верхнее основание которого — квадрат со стороной 3\,см (см. рисунок). Найдите объём получившейся фигуры.
   
   
   
10. Начертите произвольный угол $AOB$ и проведите внутри него два луча — $OC$ и $OP$. Сколько всего углов теперь на рисунке?
    
    
    
11. Определите вид $\angle ABC$.
    
    1. острый
    2. прямой
    3. тупой
    4. развернутый
    
    
    
12. Определите вид $\angle MOK$.
    
    1. острый
    2. прямой
    3. тупой
    4. развернутый
    
    
    
13. Постройте с помощью транспортира угол в $65^\circ$.
    
    
14. Начертите произвольный четырёхугольник (не прямоугольник и не квадрат) и измерьте с помощью транспортира величины всех его углов. Сложите результаты измерений.
    
    
15. Начертите треугольник $ABC$, у которого $AB = 5$\,см, $\angle A = 100^\circ$, $\angle C = 30^\circ$. Измерьте величину угла $B$.

1. Задача. На каком рисунке изображены точки \(B(7)\) и \(A(3)\)?
   Решение. На рисунке 3 точка \(A\) стоит на третьем делении от нуля, а точка \(B\) – на седьмом делении. На остальных рисунках координаты этих точек другие.
   Ответ. 3-й рисунок.
   
2. Задача. Найдите сумму чисел \(3419854\) и \(1108769\).
   Решение. Складываем числа: \(3419854 + 1108769 = 4528623\).
   Ответ. \(4528623\).
   
3. Задача. Найдите разность чисел \(987511\) и \(987512\).
   Решение. Второе число на 1 больше первого, поэтому \(987511 - 987512 = -1\).
   Ответ. \(-1\).
   
4. Задача. Вычислите \(507 \cdot 308\).
   Решение. Удобно разложить число \(308\) на \(300\) и \(8\): \(507 \cdot 308 = 507 \cdot 300 + 507 \cdot 8 = 152100 + 4056 = 156156\).
   Ответ. \(156156\).
   
5. Задача. Вычислите \(18252 : 36\).
   Решение. Проверим деление: \(36 \cdot 500 = 18000\), остаётся \(252\). Ещё \(36 \cdot 7 = 252\), значит всего \(500 + 7 = 507\).
   Ответ. \(507\).
   
6. Задача. Сравните четырёхзначные числа \(10*9\) и \(10*4\), где вместо одной и той же цифры поставлен знак \(*\).
   Решение. В обоих числах одинаковы тысячи, сотни и десятки. Различаются только единицы: в одном числе стоит \(9\), а в другом \(4\). Так как \(9 > 4\), первое число больше второго.
   Ответ. \(10*9 > 10*4\).
   
7. Задача. В микроавтобус можно посадить не более 15 человек. Какое наименьшее число таких микроавтобусов понадобится для одновременной перевозки 170 человек?
   Решение. Один микроавтобус перевозит 15 человек. \(170 : 15 = 11\) и остаток \(5\), значит 11 микроавтобусов недостаточно, потому что они перевезут только 165 человек. Нужен ещё один микроавтобус.
   Ответ. \(12\) микроавтобусов.
   
8. Задача. Из трёх равенств найдите верное: \(2016 : 32 = 603\), \(916 - 28 = 558\), \(2107 : 43 = 49\).
   Решение. Проверим третье равенство: \(43 \cdot 49 = 43 \cdot 50 - 43 = 2150 - 43 = 2107\). Значит оно верное. Остальные равенства неверны.
   Ответ. \(2107 : 43 = 49\).
   
9. Задача. Вычислите \(3^5\).
   Решение. По определению степени \(3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\).
   Ответ. \(243\).
   
10. Задача. Укажите, какое выражение равно выражению \(915 - 354 - 278\).
    Решение. Последовательное вычитание двух чисел можно записать как вычитание их суммы: \(915 - 354 - 278 = 915 - (354 + 278)\). Это же выражение равно записи \((915 - 354) - 278\).
    Ответ. По записанному условию равны выражения \(915 - (354 + 278)\) и \((915 - 354) - 278\).
    
11. Задача. Найдите значение выражения \(47 + 41 - 27 - 17\).
    Решение. Удобно сгруппировать числа так: \(47 - 27 = 20\), \(41 - 17 = 24\). Тогда всё выражение равно \(20 + 24 = 44\).
    Ответ. \(44\).
    
12. Задача. Выполните действие \(972 : 9 : 3\).
    Решение. Сначала делим \(972\) на \(9\): получаем \(108\). Затем \(108 : 3 = 36\).
    Ответ. \(36\).
    
13. Задача. Запишите число сто тридцать семь тысяч восемьсот семь. Из какого числа оно получилось, если количество десятков тысяч уменьшили на 7?
    Решение. Число сто тридцать семь тысяч восемьсот семь записывается так: \(137807\). Уменьшить количество десятков тысяч на 7 – это уменьшить число на \(70000\). Значит исходное число было \(137807 + 70000 = 207807\).
    Ответ. \(137807\); исходное число \(207807\).
    
14. Задача. Два участника движутся навстречу друг другу. Сейчас между ними \(84\) км, их скорости \(5\) км/ч и \(11\) км/ч. Какое расстояние будет между ними через \(3\) ч?
    Решение. Скорость сближения равна \(5 + 11 = 16\) км/ч. За \(3\) ч расстояние уменьшится на \(16 \cdot 3 = 48\) км. Тогда останется \(84 - 48 = 36\) км.
    Ответ. \(36\) км.
    
15. Задача. Петя задумал число. Если к нему прибавить \(128\) и результат умножить на \(6\), получится \(968\). Какое число задумал Петя?
    Решение. Сначала найдём число после прибавления \(128\): \(968 : 6 = 161 \frac{1}{3}\). Теперь вычтем \(128\): \(161 \frac{1}{3} - 128 = 33 \frac{1}{3}\).
    Ответ. \(33 \frac{1}{3}\).
    
16. Задача. На каком рисунке заштрихована \(\frac{1}{5}\) часть фигуры?
    Решение. На рисунке 4 прямоугольник разделён на 5 равных полос, и закрашена одна из них. Значит закрашена именно \(\frac{1}{5}\) часть фигуры.
    Ответ. 4-й рисунок.
    
17. Задача. Отметьте на координатном луче точку \(A\left(\frac{3}{4}\right)\).
    Решение. Отрезок от \(0\) до \(1\) поделен на 12 равных частей. \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\), значит точку \(A\) надо поставить на 9-м делении от нуля, то есть на 3 деления левее точки \(1\).
    Ответ. Точка \(A\) находится на 9-м делении от \(0\), то есть на 3 деления левее \(1\).
    
18. Задача. Сравните дроби \(\frac{300}{637}\) и \(\frac{3*1}{637}\).
    Решение. Знаменатели у дробей одинаковые, значит сравниваем числители. Число \(3*1\) не меньше \(301\), поэтому \(300 < 3*1\). Значит первая дробь меньше второй.
    Ответ. \(\frac{300}{637} < \frac{3*1}{637}\).
    
19. Задача. Какие из дробей \(\frac{9}{8}\), \(\frac{8}{9}\), \(\frac{1}{1}\), \(\frac{41}{141}\) являются неправильными?
    Решение. Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Здесь такими дробями являются \(\frac{9}{8}\) и \(\frac{1}{1}\).
    Ответ. \(\frac{9}{8}\) и \(\frac{1}{1}\).
    
20. Задача. Найдите сумму чисел \(\frac{9}{16}\) и \(\frac{3}{16}\).
    Решение. Знаменатели одинаковые, поэтому складываем только числители: \(\frac{9}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16}\). Эту дробь можно сократить до \(\frac{3}{4}\).
    Ответ. \(\frac{12}{16}\).
    
21. Задача. Выделите целую часть из неправильной дроби \(\frac{17}{5}\).
    Решение. Делим \(17\) на \(5\): получается \(3\) целых и остаток \(2\). Значит \(\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}\).
    Ответ. \(3 \frac{2}{5}\).
    
22. Задача. Вычислите \(4 \frac{7}{15} - 2 \frac{13}{15}\).
    Решение. Займём одну целую: \(4 \frac{7}{15} = 3 \frac{22}{15}\). Тогда \(3 \frac{22}{15} - 2 \frac{13}{15} = 1 \frac{9}{15} = 1 \frac{3}{5}\).
    Ответ. \(1 \frac{3}{5}\).
    
23. Задача. Укажите верную запись десятичной дроби «ноль целых тридцать семь тысячных».
    Решение. Тридцать семь тысячных – это \(\frac{37}{1000}\). Такая дробь записывается как \(0,037\).
    Ответ. \(0,037\).
    
24. Задача. В какой строчке числа расположены в порядке убывания: \(4,597\), \(4,5902\), \(4,59\)?
    Решение. Запишем числа с одинаковым количеством знаков после запятой: \(4,5970\), \(4,5902\), \(4,5900\). Тогда видно, что \(4,5970 > 4,5902 > 4,5900\).
    Ответ. 1-я строчка.
    
25. Задача. Вычислите \(56,7 + 5,38\).
    Решение. Складываем десятичные дроби: \(56,70 + 5,38 = 62,08\).
    Ответ. \(62,08\).
    
26. Задача. Вычислите \(0,34 \cdot 0,8\).
    Решение. Сначала перемножим \(34 \cdot 8 = 272\). В исходных множителях вместе три цифры после запятой, значит ответ равен \(0,272\).
    Ответ. \(0,272\).
    
27. Задача. Найдите частное чисел \(0,765\) и \(0,25\).
    Решение. Деление на \(0,25\) равно умножению на \(4\). Поэтому \(0,765 : 0,25 = 0,765 \cdot 4 = 3,06\).
    Ответ. \(3,06\).
    
28. Задача. Вычислите наиболее удобным способом \(17,4 + 1,5 + 17,4 \cdot 3,5\).
    Решение. Сначала объединим похожие слагаемые: \(17,4 + 17,4 \cdot 3,5 = 17,4 \cdot (1 + 3,5) = 17,4 \cdot 4,5 = 78,3\). Затем прибавим \(1,5\): \(78,3 + 1,5 = 79,8\).
    Ответ. \(79,8\).
    
29. Задача. Найдите площадь квадрата со стороной \(1,7\) см и округлите результат до целых.
    Решение. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: \(1,7 \cdot 1,7 = 2,89\) см\(^{2}\). При округлении до целых получаем \(3\) см\(^{2}\).
    Ответ. \(2,89\) см\(^{2}\); после округления \(3\) см\(^{2}\).
    
30. Задача. Одно число больше другого в \(2,5\) раза, а их среднее арифметическое равно \(35\). Найдите эти числа.
    Решение. Если среднее арифметическое двух чисел равно \(35\), то их сумма равна \(70\). Пусть меньшее число составляет 1 часть, тогда большее – \(2,5\) части, всего \(3,5\) части. Одна часть равна \(70 : 3,5 = 20\), значит числа равны \(20\) и \(50\).
    Ответ. \(20\) и \(50\).
    
31. Задача. Выразите десятичную дробь \(0,75\) в процентах.
    Решение. Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, надо умножить её на \(100\). Получаем \(0,75 \cdot 100 = 75\%\).
    Ответ. \(75\%\).
    
32. Задача. Представьте \(125\%\) в виде десятичной дроби.
    Решение. Один процент – это одна сотая. Поэтому \(125\% = \frac{125}{100} = 1,25\).
    Ответ. \(1,25\).
    
33. Задача. Объём цистерны \(255\) л. Её наполнили водой на \(60\%\). Сколько литров воды в цистерне?
    Решение. Найдём \(60\%\) от \(255\): \(255 \cdot 0,6 = 153\). Значит в цистерне \(153\) л воды.
    Ответ. \(153\) л.
    
34. Задача. Петя прочитал \(36\) страниц, что составляет \(30\%\) книги. Сколько страниц в книге?
    Решение. Если \(36\) страниц – это \(30\%\), то вся книга составляет \(36 : 0,3 = 120\) страниц.
    Ответ. \(120\) страниц.
    
35. Задача. В классе \(25\) учеников, из них \(16\) получили за контрольную работу «пятёрки». Сколько процентов учеников получили «пятёрки»?
    Решение. Найдём долю учеников с пятёрками: \(16 : 25 = 0,64\). Переведём в проценты: \(0,64 = 64\%\).
    Ответ. \(64\%\).
    
36. Задача. Стоимость экскурсии для одного человека \(2500\) р. Для группы от \(3\) до \(10\) человек действует скидка \(5\%\). Сколько рублей заплатит группа из \(8\) человек?
    Решение. Без скидки группа из \(8\) человек заплатила бы \(8 \cdot 2500 = 20000\) р. Скидка \(5\%\) от этой суммы равна \(20000 \cdot 0,05 = 1000\) р. Значит надо заплатить \(20000 - 1000 = 19000\) р.
    Ответ. \(19000\) р.
    
37. Задача. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDMKSP\) найдите рёбра, равные ребру \(AD\).
    Решение. В прямоугольном параллелепипеде равны попарно параллельные рёбра. Ребру \(AD\) параллельны и равны рёбра \(BC\), \(MP\) и \(KS\).
    Ответ. \(BC\), \(MP\), \(KS\).
    
38. Задача. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, основание которого – квадрат со стороной \(4\) см, а высота равна \(6\) см.
    Решение. Площадь двух квадратных оснований равна \(2 \cdot 4 \cdot 4 = 32\) см\(^{2}\). Площадь четырёх боковых граней равна \(4 \cdot 4 \cdot 6 = 96\) см\(^{2}\). Полная площадь поверхности равна \(32 + 96 = 128\) см\(^{2}\).
    Ответ. \(128\) см\(^{2}\).
    
39. Задача. Из куба с ребром \(7\) см вырезали прямоугольный параллелепипед, верхнее основание которого – квадрат со стороной \(3\) см. Найдите объём получившейся фигуры.
    Решение. Объём всего куба равен \(7 \cdot 7 \cdot 7 = 343\) см\(^{3}\). Вырезанная часть имеет размеры \(3\) см, \(3\) см и \(7\) см, поэтому её объём равен \(3 \cdot 3 \cdot 7 = 63\) см\(^{3}\). Тогда объём оставшейся фигуры равен \(343 - 63 = 280\) см\(^{3}\).
    Ответ. \(280\) см\(^{3}\).
    
40. Задача. Внутри угла \(AOB\) проведены два луча \(OC\) и \(OP\). Сколько всего углов получилось на рисунке?
    Решение. Из вершины \(O\) теперь выходят четыре луча: \(OA\), \(OC\), \(OP\), \(OB\). Получаются углы \(\angle AOC\), \(\angle AOP\), \(\angle AOB\), \(\angle COP\), \(\angle COB\), \(\angle POB\). Всего \(6\) углов.
    Ответ. \(6\).
    
41. Задача. Определите вид \(\angle ABC\).
    Решение. По рисунку видно, что угол при вершине \(B\) меньше прямого угла. Значит это острый угол.
    Ответ. Острый.
    
42. Задача. Определите вид \(\angle MOK\).
    Решение. Точки \(M\), \(O\), \(K\) лежат на одной прямой, а лучи \(OM\) и \(OK\) направлены в противоположные стороны. Такой угол является развёрнутым.
    Ответ. Развёрнутый.
    
43. Задача. Постройте с помощью транспортира угол в \(65^\circ\).
    Решение. Нужно провести луч, приложить транспортир центром к вершине, отметить деление \(65^\circ\) и провести через отметку второй луч. Получится угол в \(65^\circ\).
    Ответ. Построен угол \(65^\circ\).
    
44. Задача. Начертите произвольный четырёхугольник, измерьте все его углы и сложите результаты.
    Решение. При измерении и сложении четырёх углов любого четырёхугольника получается одна и та же сумма. Она равна \(360^\circ\).
    Ответ. \(360^\circ\).
    
45. Задача. Начертите треугольник \(ABC\), у которого \(AB = 5\) см, \(\angle A = 100^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\), и измерьте угол \(B\).
    Решение. После построения такого треугольника и измерения третьего угла транспортиром получаем \(50^\circ\).
    Ответ. \(50^\circ\).