Лицей им.В.И. Долгих из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

Лицей им.В.И. Долгих

2023 год

1. Найдите ближайшее к значению выражения \( \left(20{,}22 - 3{,}14 \cdot \frac{20}{23} \right) : \frac{1}{100} \) целое число.
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{2x - 1}{7} + 3x = \frac{2x + 1}{9} + 12. \]
   
   
3. Найдите наименьшее значение \( x \), такое, что значение выражения \[ \frac{(225^5)(25)^{22} \cdot x}{112^2 (5^4)^{12}} \] является натуральным числом.
   
   
4. Найдите сумму координат точки пересечения прямых \( y = 2x - 1 \) и \( y = -\frac{1}{3}x + 6 \).
   
   
5. Вычислите \( (20{,}5 - 20{,}4)^2 - (20{,}5 - 20{,}4)^2 \).
   
   
6. Найдите наименьшее значение \( a \), при котором прямая \( y = (3a - 2)x + 4 \) параллельна прямой \( y = 4x - 1 \).
   
   
7. Найдите значение выражения \[ \left( \frac{3}{2} - 3t \right)^2 - t(3t + 2) \text{ при } t = 1. \]
   
   
8. Градусные меры углов треугольника относятся как \( 2 : 5 : 13 \). Найдите наибольший угол этого треугольника.
   
   
9. Внешний угол \( BCD \) треугольника \( ABC \) равен \( 137^\circ \). Найдите угол \( A \), если \( \angle B = 56^\circ \).
   
   
10. Сколько различных треугольников можно составить из отрезков, длины которых равны \( 2, 4, 5, 7 \)?
    
    
11. Сэм отправился в 12:00 из Хоббитона в сторону Тростниковой Топи и добрался до места назначения в 17:00. Фродо же вышел из Тростниковой Топи в 13:00 и прибыл в Хоббитон в 18:00. Оба хоббита двигались прямолинейно и равномерно. В котором часу они встретились?
    
    
12. Прямоугольный параллелепипед сложили из 60 одинаковых кубиков, а затем из него вынули все «угловые» кубики. Найдите отношение площади полной поверхности получившегося многогранника к площади поверхности исходного параллелепипеда.

Решения задач

1. Найдите ближайшее к значению выражения \( \left(20{,}22 - 3{,}14 \cdot \frac{20}{23} \right) : \frac{1}{100} \) целое число.
   Решение: Вычислим значение выражения по действиям:
   \( \frac{20}{23} \approx 0{,}8696 \)
   \( 3{,}14 \cdot 0{,}8696 \approx 2{,}73 \)
   \( 20{,}22 - 2{,}73 = 17{,}49 \)
   \( 17{,}49 : \frac{1}{100} = 1749 \)
   Ответ: 1749.
   
   
2. Решите уравнение \[ \frac{2x - 1}{7} + 3x = \frac{2x + 1}{9} + 12. \]
   Решение: Умножим обе части на 63 (НОК 7 и 9):
   \( 9(2x - 1) + 189x = 7(2x + 1) + 756 \)
   \( 18x - 9 + 189x = 14x + 7 + 756 \)
   \( 207x - 9 = 14x + 763 \)
   \( 193x = 772 \)
   \( x = \frac{772}{193} = 4 \)
   Ответ: 4.
   
   
3. Найдите наименьшее значение \( x \), такое, что значение выражения \[ \frac{(225^5)(25)^{22} \cdot x}{112^2 (5^4)^{12}} \] является натуральным числом.
   Решение: Разложим на простые множители:
   Числитель: \( 3^{10} \cdot 5^{54} \cdot x \)
   Знаменатель: \( 2^8 \cdot 7^2 \cdot 5^{48} \)
   Упростим: \( \frac{3^{10} \cdot 5^6 \cdot x}{2^8 \cdot 7^2} \)
   Наименьший \( x = 2^8 \cdot 7^2 = 256 \cdot 49 = 12544 \)
   Ответ: 12544.
   
   
4. Найдите сумму координат точки пересечения прямых \( y = 2x - 1 \) и \( y = -\frac{1}{3}x + 6 \).
   Решение: Приравняем уравнения:
   \( 2x - 1 = -\frac{1}{3}x + 6 \)
   Умножим на 3: \( 6x - 3 = -x + 18 \)
   \( 7x = 21 \Rightarrow x = 3 \)
   \( y = 2 \cdot 3 - 1 = 5 \)
   Сумма координат: \( 3 + 5 = 8 \)
   Ответ: 8.
   
   
5. Вычислите \( (20{,}5 - 20{,}4)^2 - (20{,}5 - 20{,}4)^2 \).
   Решение: Оба слагаемых одинаковы, их разность равна нулю.
   Ответ: 0.
   
   
6. Найдите наименьшее значение \( a \), при котором прямая \( y = (3a - 2)x + 4 \) параллельна прямой \( y = 4x - 1 \).
   Решение: Угловые коэффициенты равны:
   \( 3a - 2 = 4 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2 \)
   Ответ: 2.
   
   
7. Найдите значение выражения \[ \left( \frac{3}{2} - 3t \right)^2 - t(3t + 2) \text{ при } t = 1. \]
   Решение: Подставим \( t = 1 \):
   \( \left( \frac{3}{2} - 3 \right)^2 - 1 \cdot (3 + 2) = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 - 5 = \frac{9}{4} - 5 = -\frac{11}{4} \)
   Ответ: \(-2{,}75\).
   
   
8. Градусные меры углов треугольника относятся как \( 2 : 5 : 13 \). Найдите наибольший угол этого треугольника.
   Решение: Сумма частей: \( 2 + 5 + 13 = 20 \)
   Одна часть: \( \frac{180^\circ}{20} = 9^\circ \)
   Наибольший угол: \( 13 \cdot 9^\circ = 117^\circ \)
   Ответ: \(117^\circ\).
   
   
9. Внешний угол \( BCD \) треугольника \( ABC \) равен \( 137^\circ \). Найдите угол \( A \), если \( \angle B = 56^\circ \).
   Решение: Внутренний угол \( C = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ \)
   \( \angle A = 180^\circ - 56^\circ - 43^\circ = 81^\circ \)
   Ответ: \(81^\circ\).
   
   
10. Сколько различных треугольников можно составить из отрезков, длины которых равны \( 2, 4, 5, 7 \)?
    Решение: Проверим комбинации:
    \( 2,4,5 \) — подходит (\(2 + 4 > 5\))
    \( 4,5,7 \) — подходит (\(4 + 5 > 7\))
    Остальные комбинации не удовлетворяют неравенству треугольника.
    Ответ: 2.
    
    
11. Сэм отправился в 12:00 из Хоббитона в сторону Тростниковой Топи и добрался до места назначения в 17:00. Фродо же вышел из Тростниковой Топи в 13:00 и прибыл в Хоббитон в 18:00. Оба хоббита двигались прямолинейно и равномерно. В котором часу они встретились?
    Решение: Пусть расстояние \( S \), скорость Сэма \( \frac{S}{5} \), скорость Фродо \( \frac{S}{5} \).
    Пусть встреча произошла через \( t \) часов после 12:00:
    \( \frac{S}{5} \cdot t + \frac{S}{5} \cdot (t - 1) = S \)
    \( \frac{2t - 1}{5} = 1 \Rightarrow t = 3 \)
    Встреча в 15:00.
    Ответ: в 15:00.
    
    
12. Прямоугольный параллелепипед сложили из 60 одинаковых кубиков, а затем из него вынули все «угловые» кубики. Найдите отношение площади полной поверхности получившегося многогранника к площади поверхности исходного параллелепипеда.
    Решение: Размеры параллелепипеда \( 3 \times 4 \times 5 \).
    Исходная площадь: \( 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 94 \).
    Удаление 8 угловых кубиков добавляет \( 8 \cdot 3 = 24 \) новых граней.
    Новая площадь: \( 94 + 24 = 118 \).
    Отношение: \( \frac{118}{94} = \frac{59}{47} \).
    Ответ: \(\frac{59}{47}\).