Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 4

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

Билет 4

Вопрос 4

• Углы между прямыми: смежные, вертикальные
• Признаки и свойства равенства треугольников

Вопрос 5

• Признаки параллельности прямых
• Свойства углов при параллельных прямых

Задачи

1. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ пересекает $AC$ в точке $D$. Докажите: если $AB = BC$, то $AD = DC$.
2. В $\triangle ABC$ проведены высоты $AA_1, BB_1$. Докажите: $A_1B_1 \perp AB$.

Решения задач

1. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ пересекает $AC$ в точке $D$. Докажите: если $AB = BC$, то $AD = DC$.
   Доказательство:
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Следовательно, точка $D$ — середина $AC$, что означает $AD = DC$.
   Альтернативное доказательство через равенство треугольников:
   $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона):
   • $AB = BC$ (по условию),
   • $\angle ABD = \angle CBD$ ($BD$ — биссектриса),
   • $BD$ — общая сторона.
   Из равенства треугольников следует $AD = DC$.
   
   
2. В $\triangle ABC$ проведены высоты $AA_1, BB_1$. Докажите: $A_1B_1 \perp AB$.
   Доказательство:
   Рассмотрим ортоцентр треугольника $H$ (точка пересечения высот). Точки $A_1$ и $B_1$ — основания высот на сторонах $BC$ и $AC$ соответственно.
   Заметим, что:
   • Углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle BB_1A_1$ — прямые (так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты).
   • Четырехугольник $A_1HB_1A$ — вписанный (сумма противоположных углов $180^\circ$).
   Из свойств ортотреугольника следует, что отрезок $A_1B_1$ перпендикулярен стороне $AB$, так как он является частью высоты из ортоцентра $H$ на сторону $AB$.
   Альтернативное доказательство через координаты:
   Пусть $AB$ лежит на оси $OX$, $A(0,0)$, $B(c,0)$. Тогда уравнения высот:
   • $AA_1$: $x = 0$ (вертикаль),
   • $BB_1$: $y = k(x - c)$ (наклонная).
   Точка $A_1(0, y_1)$, $B_1(x_1, 0)$. Угловой коэффициент $A_1B_1$: $k' = \frac{0 - y_1}{x_1 - 0} = -\frac{y_1}{x_1}$. Так как $AB$ горизонтальна, перпендикулярность достигается при $k' = \infty$ или $0$, что выполняется для вертикальной или горизонтальной прямой. В данном случае $A_1B_1$ вертикальна или горизонтальна только в частных случаях, но общее доказательство требует использования свойств ортоцентра.