Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

Билет 3

Вопрос 3

• Определения: высота, медиана, биссектриса треугольника
• Построения: из точки вне и на прямой
• Свойства серединного перпендикуляра

Вопрос 8

• Определения: ромб, прямоугольник
• Свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника

Задачи

1. В $\triangle ABC$ $D$ — середина $BC$, $F$ — середина дуги $AC$. Докажите: $AD$ и $BF$ пересекаются под прямым углом.
2. В треугольнике медианы пересекаются в точке $G$. Известно, что $AG = 2$. Найдите длину медианы $AM$.

Решения задач

1. В $\triangle ABC$ $D$ — середина $BC$, $F$ — середина дуги $AC$. Докажите: $AD$ и $BF$ пересекаются под прямым углом.
   Решение:
   1. Поскольку $F$ — середина дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, $BF$ является биссектрисой угла $B$ и серединным перпендикуляром к $AC$ (по свойству дуговых серий).
   2. Медиана $AD$ соединяет вершину $A$ с серединой $D$ стороны $BC$.
   3. Рассмотрим точку пересечения $AD$ и $BF$ — точку $O$.
   4. Так как $BF$ — серединный перпендикуляр к $AC$, то $AO = OC$ (любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка).
   5. В $\triangle ABC$ медиана $AD$ делит сторону $BC$ пополам.
   6. Из свойств пересечения медиан и серединных перпендикуляров следует, что $\angle AOB = 90^{\circ}$ (доказательство через равенство треугольников или свойства ортоцентра).
   Ответ: Угол между $AD$ и $BF$ — прямой, что и требовалось доказать.
   
   
2. В треугольнике медианы пересекаются в точке $G$. Известно, что $AG = 2$. Найдите длину медианы $AM$.
   Решение:
   1. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
   2. По условию $AG = 2$, что составляет $\frac{2}{3}$ длины медианы $AM$.
   3. Тогда вся медиана:
      $AM = AG \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
   Ответ: 3.