Открывается в новой вкладке
8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegramMAX
Или задайте вопрос через форму:

Мы всегда на связи

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

СУНЦ МГУ. Физико-математическое отделение из 9 в 10 класс 2026 год Вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 24.05.2026

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!

Задания вступительного экзамена

Печать
youit.school ©

СУНЦ МГУ

  1. Решите уравнение: \[ \frac{x}{2025}-\frac{2026}{x}=\frac{1}{2025}. \]
  2. У четырёхугольника, вписанного в окружность диаметром \(6\), углы образуют арифметическую прогрессию, причём один из них, не являющийся наибольшим, равен \(110^\circ\). Найдите длину меньшей диагонали этого четырёхугольника.
  3. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых сумма кубов корней уравнения \[ x^2-7x+a=0 \] равна \(112\).
  4. Из пунктов \(A\) и \(B\), лежащих на прямых дорогах, пересекающихся в точке \(O\) под углом \(\angle AOB=60^\circ\), в направлении точки \(O\) по одной дороге выехал автомобиль со скоростью \(60\) км/ч, а по другой – трактор со скоростью \(30\) км/ч. Каждый из них проехал точку \(O\) без остановки и продолжил движение по своей дороге. Когда автомобилю до точки \(O\) оставалось \(30\) км, трактору до неё оставалось \(10\) км. Каким было наименьшее расстояние между автомобилем и трактором?
  5. В один ряд выложены последовательно больше \(10\) камней. Сумма весов первого и последнего камней равна \(683\) кг, а второго и предпоследнего – \(342\) кг. Упятерённый вес каждого камня, кроме первого и последнего, равен сумме удвоенных весов двух его ближайших соседей. Найдите сумму весов всех этих камней.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. Решить уравнение \[ \frac{x}{2025}-\frac{2026}{x}=\frac{1}{2025}. \]
    Решение. Значение $x=0$ не подходит, так как при нём дробь $\frac{2026}{x}$ не определена. Умножим уравнение на $2025x$: \[ x^2-2025\cdot 2026=x. \] Перенесём всё в левую часть и разложим на множители: \[ x^2-x-2025\cdot 2026=0, \] \[ (x-2026)(x+2025)=0. \] Следовательно, \[ x=2026 \] или \[ x=-2025. \] Оба значения допустимы.
    Ответ. $x=-2025$ или $x=2026$.
  2. Задача. У четырёхугольника, вписанного в окружность диаметром $6$, углы образуют арифметическую прогрессию. Один из углов, не являющийся наибольшим, равен $110^\circ$. Найти длину меньшей диагонали.
    Решение. Запишем углы в порядке возрастания: \[ \alpha,\ \alpha+d,\ \alpha+2d,\ \alpha+3d. \] Их сумма равна $360^\circ$, поэтому \[ 4\alpha+6d=360^\circ, \qquad 2\alpha+3d=180^\circ. \] Угол $110^\circ$ не может быть первым или вторым членом прогрессии, поэтому \[ \alpha+2d=110^\circ. \] Удвоим это равенство и вычтем равенство $2\alpha+3d=180^\circ$: \[ d=40^\circ. \] Тогда $\alpha=30^\circ$, и углы четырёхугольника равны \[ 30^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ,\ 150^\circ. \] Вписанные углы $30^\circ$ и $150^\circ$ опираются на одну из диагоналей. Меньшей дуге этой диагонали соответствует центральный угол $60^\circ$. Радиус окружности равен $6:2=3$, поэтому треугольник, образованный двумя радиусами и этой диагональю, равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ равна $3$.
    Ответ. $3$.
  3. Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых сумма кубов корней уравнения \[ x^2-7x+a=0 \] равна $112$.
    Решение. Пусть корни уравнения равны $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета \[ x_1+x_2=7, \qquad x_1x_2=a. \] Используем равенство \[ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2). \] По условию \[ 7^3-3a\cdot 7=112. \] Тогда \[ 343-21a=112, \qquad 21a=231, \qquad a=11. \] При $a=11$ дискриминант равен \[ 49-44=5>0, \] поэтому уравнение имеет два действительных корня.
    Ответ. $a=11$.
  4. Задача. Автомобиль и трактор движутся к точке пересечения двух дорог, угол между которыми равен $60^\circ$. Скорости автомобиля и трактора равны соответственно $60$ км/ч и $30$ км/ч. В некоторый момент автомобилю оставалось до точки $O$ $30$ км, а трактору – $10$ км. Найти наименьшее расстояние между ними.
    Решение. Пусть $t$ часов прошло после указанного момента. Введём направленные расстояния от точки $O$ по первоначальным направлениям к точкам $A$ и $B$. Тогда расстояния до положений автомобиля и трактора равны \[ 30-60t \] и \[ 10-30t. \] По теореме косинусов квадрат расстояния $d$ между ними равен \[ d^2=(30-60t)^2+(10-30t)^2 -2(30-60t)(10-30t)\cos 60^\circ. \] Так как $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, получаем \[ d^2=(30-60t)^2+(10-30t)^2-(30-60t)(10-30t). \] Раскроем скобки: \[ d^2=2700t^2-2700t+700 =2700\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+25. \] Квадрат не может быть отрицательным, поэтому наименьшее значение $d^2$ равно $25$. Оно достигается при $t=\frac{1}{2}$ часа. Следовательно, \[ d_{\min}=5\text{ км}. \]
    Ответ. $5$ км.
  5. Задача. В ряд выложено больше $10$ камней. Сумма весов первого и последнего камней равна $683$ кг, а второго и предпоследнего – $342$ кг. Упятерённый вес каждого внутреннего камня равен сумме удвоенных весов двух его соседей. Найти сумму весов всех камней.
    Решение. Пусть веса камней равны \[ a_1,a_2,\ldots,a_n, \] а сумма всех весов равна $S$. Для каждого внутреннего камня выполняется равенство \[ 5a_i=2a_{i-1}+2a_{i+1}. \] Сложим эти равенства для всех внутренних камней. В левой части получим \[ 5(S-a_1-a_n). \] В правой части первая сумма соседей содержит все камни, кроме двух последних, а вторая – все камни, кроме двух первых. Поэтому \[ 5(S-a_1-a_n) = 2(S-a_{n-1}-a_n)+2(S-a_1-a_2). \] Раскроем скобки: \[ 5S-5(a_1+a_n) = 4S-2(a_1+a_n)-2(a_2+a_{n-1}). \] Отсюда \[ S=3(a_1+a_n)-2(a_2+a_{n-1}). \] Подставим данные: \[ S=3\cdot 683-2\cdot 342 =2049-684 =1365. \]
    Ответ. $1365$ кг.
Материалы школы Юайти

Записаться на подготовку к поступлению в школу

1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
envelop

Записаться на подготовку к поступлению в школу

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Связаться с нами

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.