Юайти ✕ Школа 1514 из 9 в 10 класс 2026 год | Вариант 3

Гимназия №1514

Пробный вариант Юайти 3 (переход 9$\to$10 класс)

Математика

2026 год

1. Постройте график функции: \[ y=|x+1|+|x-3|-2. \] Исследуйте функцию по графику. Сколько решений в зависимости от \(c\) имеет уравнение \(y=c\)?
2. Для приготовления раствора взяли \(20\%\)-й и \(50\%\)-й растворы соли и получили \(12\) кг \(30\%\)-го раствора. Сколько килограммов каждого исходного раствора было взято?
3. Решите неравенство: \[ \sqrt{x+1}>|x-2|. \]
4. Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), где \(a_1=1\), \(d=4\). Вычислите: \[ \frac{8}{a_1a_2}+\frac{8}{a_2a_3}+\frac{8}{a_3a_4}+\cdots+\frac{8}{a_{25}a_{26}}. \]
5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2+y^2-2xy-6x+6y+9=0, & \\ x+y=7. & \end{cases} \]
6. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой \[ a_n=\frac{n^2}{2^n}. \]
7. В треугольнике \(ABC\) заданы координаты вершин: \(A(-1,-2)\), \(B(8,-2)\), \(C(-1,10)\). Напишите:
   1. уравнение прямой \(BC\);
   2. уравнение прямой, содержащей высоту, проведённую из вершины \(A\);
   3. уравнение окружности, вписанной в \(\triangle ABC\);
   4. уравнение окружности, описанной около \(\triangle ABC\).
8. В треугольнике \(ABC\) основание \(AC=14\), высота \(BO=9\), причём \(AO=5\). На продолжении отрезка \(BO\) за точку \(O\) отмечена точка \(D\) так, что \(OD:OB=2:3\). Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).
9. В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), причём \(AD:BC=4:1\), а площадь трапеции равна \(100\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Найдите площади треугольников \(AOD\), \(BOC\), \(AOB\) и \(COD\).