Лицей № 1525 «Воробьёвы Горы» из 4 в 5 класс 23 апреля 2026 | Вариант 3
Печать
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы», отделение на Донской
Вариант 3 (переход $4 \to 5$ класс)
Вступительная работа
23 апреля 2026
- Вычеркните из числа 83976593338705 несколько цифр так, чтобы оставшаяся сумма цифр была равна 50, а число при этом оказалось наименьшим.
- От дома Коли до магазина на одинаковом расстоянии стоит 10 столбов, на которых натянуты линии электропередач. Между каждыми двумя столбами село по вороне. По дороге в магазин, Коля считал расстояние между воронами. Между первой и второй было 10 шагов, между второй и третьей – 34 шага. Могло ли так оказаться, что между двумя последними Коля насчитал 91 шаг?
- В пруду жило 2026 хищных рыб пяти цветов: серые, синие, зеленые, желтые и коричневые. При этом серые могли съесть только синих, синие – только зеленых, зеленые – только желтых, желтые только коричневых, а коричневые – только серых. Дядя Петя каждый день ходил кормить этих рыб, а в один день он уехал в гости и не покормил их. Рыбы терпели, терпели, но в итоге начали по очереди есть друг друга. При этом никакие 2 рыбы не были съедены одновременно, и никакая рыба не успела съесть двух. Когда дядя Петя вернулся, то в пруду плавала одна зеленая рыбёшка. Какого цвета рыба начала цепочку столь печальных поеданий своих соседей по пруду?
- По кругу, на 11 кочках, сидело по 1 лягушке. В какой-то момент они все одновременно перепрыгнули на соседнюю, или через одну кочку (не важно, в какую сторону). Сколько максимум могло остаться свободных кочек, если кочки большие и там может поместиться несколько лягушек?
- Прямоугольник двумя прямыми разрезами разделили на квадрат со стороной 10, треугольник со сторонами 3, 4, 5 (стороны 3 и 4 были частями сторон прямоугольника) и пятиугольник, у которого 2 стороны равны сторонам треугольника. Каким мог быть периметр исходного прямоугольника?
- Перед вами схема шахт (кружочки) и одинаковых по длине туннелей между ними где-то в глубине алмазных шахт. Между туннелями только в одном направлении (см рисунок) и с одинаковой везде скоростью, могут двигаться вагонетки, перевозящие людей, оборудование, алмазы и тому подобное. Директор работающей в шахте команды утверждает, что он знает, сколько в каждом туннеле может одновременно двигаться вагонеток и они (пренебрегая временем на выгрузку и загрузку в шахте), могут двигаться без остановок, не дожидаясь своей очереди въезда в нужный туннель, причем во всех туннелях одновременно двигается разное количество вагонеток. Ошибается ли директор, или все же такая расстановка перемещения вагонеток возможна?
- На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут, продолжает функционировать клуб любителей домашних животных «КотоПёс». На острове принято, что у жителей есть одно, или два домашних животных, при этом у рыцаря всегда есть хотя бы одна собака, а у лжеца – хотя бы одна кошка. На очередное собрание клуба пришло 6 жителей со своими питомцами и сели в круг. Оказалось, что каждый из них может произнести две фразы: 1) У моих соседей в сумме ровно две собаки. 2) У моих соседей в сумме ровно одна кошка. Сколько могло быть рыцарей среди присутствующих?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы», отделение на Донской
Вариант 3 (переход $4 \to 5$ класс)
Вступительная работа. Решения
23 апреля 2026
- Задача. Из числа \(83976593338705\) нужно вычеркнуть несколько цифр так, чтобы сумма оставшихся цифр была равна \(50\), а само число стало как можно меньше.
Решение. Сначала заметим, что оставить только \(6\) цифр нельзя: даже сумма шести самых больших цифр равна \(9+9+8+8+7+7=48\), а этого меньше \(50\). Значит, надо оставить не меньше \(7\) цифр. Теперь выбираем эти \(7\) цифр слева направо так, чтобы число было как можно меньше. Первую цифру \(3\) взять нельзя: тогда даже вместе с шестью самыми большими следующими цифрами получится только \(49\). Значит, первая цифра должна быть \(8\), вторая – \(3\). Третью цифру \(7\) взять нельзя, потому что тогда даже с четырьмя самыми большими следующими цифрами выйдет только \(48\). Поэтому третья цифра – \(9\). После \(839\) можно взять \(6\), а \(5\) брать нельзя: тогда сумма снова окажется слишком маленькой. После \(8396\) цифру \(5\) брать нельзя, значит, берём \(9\). После \(83969\) цифру \(3\) брать нельзя, потому что тогда для последней цифры пришлось бы искать \(12\), а такой цифры нет. Поэтому остаются \(8\) и \(7\). Получаем число \(8396987\).
Ответ. \(8396987\). - Задача. От дома Коли до магазина стоят \(10\) столбов на одинаковом расстоянии друг от друга. Между каждыми двумя соседними столбами сидит по вороне. Между первой и второй воронами Коля насчитал \(10\) шагов, между второй и третьей – \(34\) шага. Может ли между двумя последними воронами быть \(91\) шаг?
Решение. Между первой и третьей воронами получилось \(10+34=44\) шага. Значит, расстояние между соседними столбами меньше \(44\) шагов, потому что между первой и третьей воронами помещается только один полный промежуток между столбами и ещё кусочки по краям. Теперь рассмотрим последних двух ворон, самое большое расстояние между двумя такими воронами может быть почти, как два расстояния между столбами. Значит, оно меньше \(44+44=88\) шагов. Число \(91\) больше \(88\), значит, так быть не может.
Ответ. Нет, не могло. - Задача. В пруду было \(2026\) рыб пяти цветов: серые, синие, зелёные, жёлтые и коричневые. Серые ели только синих, синие – только зелёных, зелёные – только жёлтых, жёлтые – только коричневых, коричневые – только серых. Рыбы стали по очереди есть друг друга. Никакие две рыбы не были съедены одновременно, и ни одна рыба не успела съесть двух. В конце осталась одна зелёная рыбка. Какого цвета была рыба, которая первой начала всю цепочку?
Решение. Раз ни одна рыба не съела двух, а в конце осталась только одна, значит, все поедания шли одной длинной цепочкой. Если идти от последней оставшейся зелёной рыбки назад, то цвета будут идти так: зелёная, жёлтая, коричневая, серая, синяя, потом снова зелёная, жёлтая и так далее. Такой порядок повторяется по \(5\) цветов. Всего рыб было \(2026\). Самая первая начавшая рыба в этой цепочке стоит на \(2025\)-м месте, потому что \(2026\)-я рыба только была съедена и никого съесть не успела. Число \(2025\) делится на \(5\), а каждое пятое место в этой цепочке занимает синяя рыба.
Ответ. Синяя. - Задача. По кругу на \(11\) кочках сидело по одной лягушке. Все одновременно перепрыгнули либо на соседнюю кочку, либо через одну кочку. Нужно узнать, сколько самое большое могло остаться свободных кочек, если на одной кочке может оказаться несколько лягушек.
Решение. Покажем сначала, что \(7\) свободных кочек получить можно. Пронумеруем кочки по кругу от \(1\) до \(11\). Пусть лягушки прыгают так: \(1\to2\), \(2\to4\), \(3\to4\), \(4\to2\), \(5\to7\), \(6\to7\), \(7\to9\), \(8\to9\), \(9\to7\), \(10\to9\), \(11\to9\). Тогда занятыми окажутся только кочки \(2\), \(4\), \(7\), \(9\), то есть свободных кочек будет \(11-4=7\). Теперь докажем, что больше \(7\) быть не может. Если бы занятыми после прыжка остались только \(3\) кочки, то они разделили бы круг на \(3\) дуги. Лягушка, сидевшая на занятой кочке, тоже должна была перепрыгнуть на занятую кочку, значит, возле каждой занятой кочки хотя бы одна из двух соседних дуг должна иметь длину \(1\) или \(2\) кочки. Поэтому по меньшей мере две из трёх дуг имеют длину не больше \(2\). Тогда третья дуга имеет длину не меньше \(11-2-2=7\). Но на такой длинной дуге есть средние кочки, которые находятся дальше чем на \(2\) кочки от обоих концов дуги, значит, лягушки с них не смогут попасть ни на одну из трёх занятых кочек. Получилось противоречие. Значит, занятых кочек должно быть не меньше \(4\), а свободных не больше \(7\).
Ответ. \(7\). - Задача. Прямоугольник двумя прямыми разрезами разделили на квадрат со стороной \(10\), треугольник со сторонами \(3\), \(4\), \(5\) и пятиугольник. У пятиугольника две стороны равны сторонам треугольника. Нужно узнать, каким мог быть периметр исходного прямоугольника.
Решение. Квадрат со стороной \(10\) можно отделить одним прямым разрезом только тогда, когда одна из сторон прямоугольника равна \(10\). Пусть другая сторона прямоугольника больше \(10\) на несколько единиц. Тогда у пятиугольника одна сторона уже равна \(5\): это сторона, которая соприкасается с треугольником по его стороне \(5\). Ещё у пятиугольника появляются две стороны: одна равна всей лишней части длинной стороны, а другая равна этой лишней части без \(3\) или без \(4\), смотря какая сторона треугольника лежит на длинной стороне прямоугольника. Чтобы у пятиугольника была ещё одна сторона длины \(3\), \(4\) или \(5\), лишняя часть должна быть равна \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) или \(9\), \(3\) не подходит так как, тогда треугольник не поместиться в оставшуюся часть и будет уже не пятиугольник а четырехугольник. Значит, вторая сторона прямоугольника может быть равна \(14\), \(15\), \(16\), \(17\), \(18\) или \(19\). Тогда периметр прямоугольника равен \(2\cdot(10+14)=48\), \(2\cdot(10+15)=50\), \(2\cdot(10+16)=52\), \(2\cdot(10+17)=54\), \(2\cdot(10+18)=56\) или \(2\cdot(10+19)=58\). Все эти варианты можно построить.
Ответ. Периметр мог быть равен \(48\), \(50\), \(52\), \(54\), \(56\) или \(58\). - Задача. На рисунке показана схема шахт и направленных туннелей. Директор утверждает, что можно расставить по туннелям разное число вагонеток так, чтобы нигде не было остановок и ожидания. Верно ли это?
Решение. Да, верно. Например, можно расставить числа так. По верхнему туннелю справа налево идут \(12\) вагонеток. По левому верхнему туннелю сверху вниз – \(15\), по левому нижнему сверху вниз – \(11\), по нижнему туннелю слева направо – \(9\), по правому нижнему снизу вверх – \(1\), по правому верхнему снизу вверх – \(7\). По среднему левому туннелю к центру идут \(4\), из центра направо – \(6\), из центра в верхнюю левую шахту – \(3\), из нижней левой шахты в центр – \(2\), из центра в верхнюю правую шахту – \(5\), из нижней правой шахты в центр – \(8\). Все числа разные. Проверим шахты: в верхнюю левую приходит \(12+3=15\), столько же уходит; в левую среднюю приходит \(15\), уходит \(11+4=15\); в нижнюю левую приходит \(11\), уходит \(9+2=11\); в центр приходит \(4+2+8=14\), уходит \(6+3+5=14\); в верхнюю правую приходит \(7+5=12\), столько же уходит; в правую среднюю приходит \(1+6=7\), столько же уходит; в нижнюю правую приходит \(9\), уходит \(1+8=9\). Значит, такая расстановка возможна.
Ответ. Директор не ошибается, такая расстановка возможна. - Задача. На острове рыцарей и лжецов у каждого жителя есть одно или два домашних животных. У рыцаря всегда есть хотя бы одна собака, у лжеца – хотя бы одна кошка. На собрание пришли \(6\) жителей и сели в круг. Каждый из них мог произнести две фразы: «У моих соседей вместе ровно две собаки» и «У моих соседей вместе ровно одна кошка». Сколько могло быть рыцарей?
Решение. Сначала найдём невозможные случаи. Один рыцарь быть не мог: его оба соседа тогда лжецы, а у каждого лжеца есть хотя бы одна кошка, значит, у соседей вместе было бы не меньше двух кошек, а не одна. Пять рыцарей тоже быть не могло. Если один лжец сидит между двумя рыцарями, то у этих двух рыцарей среди соседей вместе ровно одна кошка, значит, у лжеца ровно одна кошка, а у двух рыцарей по другую сторону от него кошек нет. Тогда у среднего между ними рыцаря по соседству окажется ноль кошек, а должно быть одна. Шесть рыцарей тоже невозможны. Тогда каждый из них видит у соседей ровно две собаки, а значит, у каждого соседа по одной собаке. Значит, каждый рыцарь имеет ровно одну собаку и, возможно, ещё одну кошку. Но тогда по кругу должны чередоваться рыцари с кошкой и без кошки. У рыцаря без кошки тогда оба соседа были бы с кошками, то есть кошек было бы две, а не одна. Значит, \(1\), \(5\) и \(6\) рыцарей невозможны.
Покажем теперь, что числа \(0\), \(2\), \(3\) и \(4\) возможны. Для краткости будем писать: П – одна собака, ПП – две собаки, К – одна кошка, КК – две кошки, ПК – собака и кошка. Тогда подходят такие примеры по кругу: \(0\) рыцарей – \(К, К, К, К, К, К\); \(2\) рыцаря – \(П, П, ПК, КК, КК, ПК\); \(3\) рыцаря – \(П, ПП, ПК, К, КК, К\); \(4\) рыцаря – \(ПП, ПП, К, ПП, ПП, К\). Во всех этих примерах у рыцарей обе фразы верны, а у лжецов обе фразы ложны.
Ответ. Рыцарей могло быть \(0\), \(2\), \(3\) или \(4\).
Материалы школы Юайти