Лицей № 1525 «Воробьёвы Горы» из 5 в 6 класс 29 марта 2026 | Вариант 1
Печать
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы»
Вариант 1. Переход $5 \to 6$ класс
Вступительная работа
29 марта 2026
- Найдите значение выражения: \(\left(3\frac{1}{2}-1\frac{2}{3}\right)\cdot 2{,}4 + 4{,}5 : 0{,}15\).
- Решите уравнение: \(5x-(2x+3{,}25)=4{,}75+2x\).
- Найдите сумму всех натуральных значений \(x\), при которых дробь \(\frac{x-4}{15}\) является правильной, дробь \(\frac{x-2}{9}\) – неправильной, а дробь \(\frac{x-7}{3}\) – сократимой.
- Из двух пунктов, расстояние между которыми 30~км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого равна 4~км/ч, скорость второго – 6~км/ч. Собака, бегающая со скоростью 10~км/ч, выбежала вместе с первым пешеходом, добежала до второго, развернулась и побежала навстречу первому, потом снова развернулась и продолжала так бегать, пока пешеходы не встретились. Какое расстояние пробежала собака до момента встречи пешеходов?
- Периметр прямоугольника равен 72~см. Если одну его сторону уменьшить на 5~см, а другую увеличить на 3~см, то получится прямоугольник, площадь которого на 21~см$^2$ меньше площади исходного. Найдите стороны исходного прямоугольника.
- Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7, но не делятся нацело ни на 2, ни на 3.
- На плоскости проведены 5 прямых так, что никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Эти прямые делят плоскость на несколько частей. Сколько из этих частей являются треугольниками? Докажите свой ответ, указав, как именно образуются такие треугольники, и подтвердите результат подсчётом всех возможных комбинаций.
- Известно, что утверждение «Для любого натурального числа \(n\) число \(n^2+n+41\) является простым» ложно. Найдите наименьшее натуральное число \(n\), для которого это утверждение не выполняется.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы»
Вариант 1. Переход $5 \to 6$ класс
Вступительная работа. Решения
29 марта 2026
- Найдите значение выражения $\left(3\frac{1}{2}-1\frac{2}{3}\right)\cdot 2{,}4 + 4{,}5 : 0{,}15$.
Решение. Сначала найдём разность смешанных чисел: $3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$, $1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$, поэтому $\frac{7}{2}-\frac{5}{3}=\frac{21-10}{6}=\frac{11}{6}$. Далее $2{,}4=\frac{12}{5}$, значит $\frac{11}{6}\cdot\frac{12}{5}=\frac{22}{5}=4{,}4$. Теперь считаем вторую часть: $4{,}5:0{,}15=30$. Тогда всё выражение равно $4{,}4+30=34{,}4$.
Ответ. $34{,}4$.
- Решите уравнение $5x-(2x+3{,}25)=4{,}75+2x$.
Решение. Раскроем скобки: $5x-2x-3{,}25=4{,}75+2x$. Получаем $3x-3{,}25=4{,}75+2x$. Перенесём $2x$ влево, а $3{,}25$ вправо: $x=4{,}75+3{,}25$. Тогда $x=8$.
Ответ. $8$.
- Задача. Найдите сумму всех натуральных значений $x$, при которых дробь $\frac{x-4}{15}$ является правильной, дробь $\frac{x-2}{9}$ – неправильной, а дробь $\frac{x-7}{3}$ – сократимой.
Решение. Чтобы дробь $\frac{x-4}{15}$ была правильной, нужно, чтобы $0\lt x-4\lt 15$, значит $4\lt x\lt 19$. Чтобы дробь $\frac{x-2}{9}$ была неправильной, нужно $x-2\ge 9$, значит $x\ge 11$. Тогда подходят только числа $x=11,12,13,14,15,16,17,18$. Дробь $\frac{x-7}{3}$ сократима тогда, когда число $x-7$ делится на 3. Из найденных чисел это выполняется при $x=13$ и $x=16$, поэтому их сумма равна $13+16=29$.
Ответ. $29$.
- Задача. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 30 км. Их скорости равны 4 км/ч и 6 км/ч. Собака бежала со скоростью 10 км/ч от одного пешехода к другому и обратно до их встречи. Найдите, какое расстояние пробежала собака.
Решение. Скорость сближения пешеходов равна $4+6=10$ км/ч. Значит, до встречи они будут идти $30:10=3$ часа. Всё это время собака бежала со скоростью 10 км/ч. Поэтому она пробежала $10\cdot 3=30$ км.
Ответ. 30 км.
- Задача. Периметр прямоугольника равен 72 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то площадь уменьшится на 21 см$^2$. Найдите стороны исходного прямоугольника.
Решение. Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Тогда вторая сторона равна $36-x$ см, потому что полупериметр равен $72:2=36$. После изменения сторон получаем прямоугольник со сторонами $x-5$ и $39-x$. По условию его площадь на 21 меньше, значит $(x-5)(39-x)=x(36-x)-21$. Раскрываем скобки: $44x-195=36x-21$, откуда $8x=174$ и $x=21{,}75$. Тогда вторая сторона равна $36-21{,}75=14{,}25$.
Ответ. $21{,}75$ см и $14{,}25$ см.
- Задача. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые делятся на 7, но не делятся нацело ни на 2, ни на 3.
Решение. Сначала найдём сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 7: это числа от 105 до 994, их сумма равна $\frac{105+994}{2}\cdot 128=70336$. Теперь вычтем те из них, которые делятся на 2, то есть делятся на 14: их сумма $\frac{112+994}{2}\cdot 64=35392$. Затем вычтем числа, которые делятся на 3, то есть делятся на 21: их сумма $\frac{105+987}{2}\cdot 43=23478$. Но числа, которые делятся на 42, мы вычли два раза, поэтому их надо прибавить обратно: $\frac{126+966}{2}\cdot 21=11466$. Получаем $70336-35392-23478+11466=22932$.
Ответ. $22932$.
- Задача. На плоскости проведены 5 прямых так, что никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Нужно узнать, сколько частей, на которые эти прямые делят плоскость, являются треугольниками.
Решение. Однозначного ответа тут нет: число треугольников зависит от того, как именно расположены прямые.
Сначала посмотрим на 4 прямые. Они всегда дают внутри 3 ограниченные части: 2 треугольника и 1 четырёхугольник.
Теперь добавим пятую прямую. Она пересечёт остальные 4 прямые и разобьёт ещё 3 части. В зависимости от того, как эта пятая прямая пройдёт, среди этих трёх новых частей может быть 1, 2 или 3 треугольника.
Значит, после добавления пятой прямой всего может получиться \(2+1=3\), \(2+2=4\) или \(2+3=5\) треугольников.
Итак, по условию нельзя назвать одно точное число.
Ответ. Однозначного ответа нет: треугольников может быть 3, 4 или 5.
- Задача. Известно, что утверждение «Для любого натурального числа $n$ число $n^2+n+41$ является простым» ложно. Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого это утверждение не выполняется.
Решение. Для доказательства оценки нужен математический аппарат превышающий знания 5 класса, поэтому просто приведем пример. Подставим $n=40$. Тогда получаем $40^2+40+41=1600+40+41=1681$. Это число можно разложить так: $1681=41\cdot 41$, значит оно составное. Следовательно, при $n=40$ утверждение уже не выполняется.
Ответ. $40$.
Материалы школы Юайти