Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 7 в 8 класс 6 мая 2026

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2026 год

06.05.2026

Вариант 1

1. Сколько существует четырёхзначных чисел, делящихся на \(4\) и составленных из цифр \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), если цифры могут повторяться?
2. В водоеме размерами $5\times 5\times 5$ спряталась подводная лодка $1\times 1\times 2$. Какое наименьшее количество выстрелов нужно сделать, чтобы задеть лодку? (Каждый выстрел поражает куб размерами $1\times1\times1$
3. Два различных делителя числа $n$ дают в сумме 2025. Найдите наименьшее возможное $n$?
4. На катетах $AC$ и $BC$ построили внешним образом равносторонние треугольники $\triangle AB_1C$ и $\triangle A_1BC$. Найдите угол между прямыми $AA_1$ и $BB_1$.
5. Найдите при каком $x$ выражение \((x+1)^2+(x-5)^2+(x-2)^2\) принимает наименьшее значение.
6. На столе в ряд лежит колода из 36 карт рубашкой вверх. Максим сначала перевернул \(30\) карт, потом \(19\) карт и после еще \(21\) карту. Оказалось, что вся колода теперь лежит рубашкой вниз. Сколько карт Максим перевернул трижды?
7. В $\triangle ABC$ провели биссектрису $BE$. Оказалось, что $AB=BC+CE$. Докажите, что один из углов треугольника вдвое больше другого.
8. Если полк построить в шеренгу по \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\), то в последней шеренге окажется \(1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\) человек соответственно. Какое наименьшее число людей служит в полку?

1. Задача. Сколько существует четырёхзначных чисел, делящихся на \(4\) и составленных из цифр \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), если цифры могут повторяться?
   Решение. Будем считать, что в числе каждая из цифр \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) используется ровно один раз.
   Число делится на \(4\), если его две последние цифры образуют число, которое делится на \(4\). Из данных цифр можно составить такие двузначные числа: \[ 24 \] \[ 32 \] \[ 44 \] \[ 52 \] Только они делятся на \(4\).
   Для каждого такого окончания две оставшиеся цифры можно поставить на первые два места $4\cdot4=16$ способами. Значит, получаем: \[ 4 \cdot 16 = 64 \]
   Ответ. \(64\).
2. Задача. В водоёме размеров \(5\times 5\times 5\) спряталась подводная лодка \(1\times 1\times 2\). Какое наименьшее количество выстрелов нужно сделать, чтобы обязательно задеть лодку, если каждый выстрел поражает куб \(1\times 1\times 1\)?
   Решение. Сначала покажем, что \(62\) выстрелов достаточно.
   Раскрасим все \(125\) маленьких кубиков в два цвета так, чтобы любые два соседних по грани кубика были разного цвета. Так как всего кубиков нечётное число, одного цвета будет \(63\) кубика, а другого \(62\).
   Лодка размера \(1\times 1\times 2\) всегда занимает два соседних кубика, а значит, эти два кубика обязательно разных цветов. Поэтому если выстрелить во все \(62\) кубика того цвета, которого меньше, то в любом положении лодка будет задета хотя бы одним выстрелом.
   Теперь покажем, что \(61\) выстрела недостаточно.
   Разобьём водоём на \(62\) непересекающиеся пары соседних кубиков и ещё один лишний кубик. Сделаем это так. В каждом слое \(5\times 5\) в каждой строке соединим в пары первый со вторым кубиком и третий с четвёртым. В каждой строке останется пятый кубик. В пятом столбце соединим в пары кубики первой и второй строк, а также третьей и четвёртой строк. Тогда в каждом слое получится \(12\) пар и один лишний кубик.
   Так как слоёв \(5\), всего получим \[ 12\cdot 5=60 \] пар и \(5\) лишних кубиков. Эти \(5\) лишних кубиков лежат друг над другом, поэтому из них можно сделать ещё \(2\) пары, и останется \(1\) кубик. Значит, во всём водоёме есть \(62\) непересекающиеся возможные позиции лодки.
   Один выстрел поражает только один кубик, значит, он может задеть не более одной из этих \(62\) позиций. Поэтому \(61\) выстрелом невозможно задеть все \(62\) позиции. Следовательно, при \(61\) выстреле нельзя гарантировать попадание.
   Итак, наименьшее нужное количество выстрелов равно \[ 62 \]
   Ответ. \(62\).
3. Задача. Два различных делителя числа \(n\) дают в сумме \(2025\). Найдите наименьшее возможное \(n\).
   Решение. Расположим все делители числа \(n\) в порядке возрастания: \(1, d_1, d_2,\ldots,\cfrac{n}{d_2},\cfrac{n}{d_1},n\)
   Тогда \(2025\le n+\cfrac{n}{d_1}\le n+\cfrac{n}{2}=\cfrac32n\)
   Отсюда имеем: \(n\ge\cfrac{2025}{\frac32}=1350\)
   Проверим \(1350\): \(1350+\cfrac{1350}{2}=1350+675=2025\). Оно нам подходит.
   Ответ. \(1350\).
4. Задача. На катетах \(AC\) и \(BC\) построили внешним образом равносторонние треугольники \(\triangle AB_1C\) и \(\triangle A_1BC\). Найдите угол между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\).
   
   
   Решение. Так как \(AC\) и \(BC\) – катеты прямоугольного треугольника \(ABC\), то \[ \angle ACB = 90^\circ \] Из равносторонних треугольников получаем \[ AC = CB_1 \] \[ BC = CA_1 \] \[ \angle B_1CA = 60^\circ \] \[ \angle BCA_1 = 60^\circ \] Тогда \[ \angle ACA_1 = \angle ACB + \angle BCA_1 \] \[ \angle ACA_1 = 150^\circ \] Аналогично \[ \angle B_1CB = \angle B_1CA + \angle ACB \] \[ \angle B_1CB = 150^\circ \] Рассмотрим треугольники \(ACA_1\) и \(B_1CB\). У них \[ AC = CB_1 \] \[ CA_1 = CB \] \[ \angle ACA_1 = \angle B_1CB \] Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \[ \angle CA_1A = \angle CBB_1 \] Обозначим \[ \angle CAA_1 = \alpha \] \[ \angle CBB_1 = \beta \] Тогда \[ \angle CA_1A = \beta \] Из треугольника \(ACA_1\) получаем \[ \alpha + \beta + 150^\circ = 180^\circ \] \[ \alpha + \beta = 30^\circ \] Если перейти от прямой \(AA_1\) к прямой \(BB_1\) через стороны \(AC\) и \(BC\), то получим угол \[ \alpha + 90^\circ + \beta \] \[ 120^\circ \] Значит, меньший угол между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) равен \[ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
   Ответ. \(60^\circ\).
5. Задача. Найдите, при каком \(x\) выражение \((x+1)^2+(x-5)^2+(x-2)^2\) принимает наименьшее значение.
   Решение. Раскроем скобки: \[ (x+1)^2=x^2+2x+1 \] \[ (x-5)^2=x^2-10x+25 \] \[ (x-2)^2=x^2-4x+4 \] Тогда всё выражение равно \[ x^2+2x+1+x^2-10x+25+x^2-4x+4 \] \[ 3x^2-12x+30 \] Выделим полный квадрат: \[ 3x^2-12x+30=3(x^2-4x)+30 \] \[ 3(x^2-4x)+30=3\bigl((x-2)^2-4\bigr)+30 \] \[ 3\bigl((x-2)^2-4\bigr)+30=3(x-2)^2+18 \] Так как квадрат числа не может быть отрицательным, наименьшее значение выражения \(3(x-2)^2+18\) получается, когда \[ (x-2)^2=0 \] \[ x=2 \]
   Ответ. \(2\).
6. Задача. На столе в ряд лежит колода из \(36\) карт рубашкой вверх. Максим сначала перевернул \(30\) карт, потом \(19\) карт и после ещё \(21\) карту. Оказалось, что вся колода теперь лежит рубашкой вниз. Сколько карт Максим перевернул трижды?
   Решение. Каждая карта сначала лежала рубашкой вверх, а в конце стала лежать рубашкой вниз. Значит, каждую карту перевернули нечётное число раз.
   Так как всего было три действия, каждую карту могли перевернуть либо \(1\) раз, либо \(3\) раза.
   Пусть \(x\) карт перевернули трижды. Тогда остальные \[ 36-x \] карт перевернули по одному разу.
   С другой стороны, общее число переворачиваний равно \[ 30+19+21=70 \] Но это же число можно посчитать так: \[ 3x+(36-x)=70 \] \[ 2x+36=70 \] \[ 2x=34 \] \[ x=17 \]
   Ответ. \(17\).
7. Задача. В \(\triangle ABC\) провели биссектрису \(BE\). Оказалось, что \(AB=BC+CE\). Докажите, что один из углов треугольника вдвое больше другого.
   Решение. Отметим на стороне \(AB\) точку \(D\) так, чтобы \[ BD=BC \]
   Рассмотрим треугольники \(DBE\) и \(CBE\). У них \[ BD=BC \] \[ BE - общая \] Так как \(BE\) – биссектриса угла \(ABC\), то \[ \angle DBE=\angle EBC \] Следовательно, треугольники \(DBE\) и \(CBE\) равны по двум сторонам и углу между ними.
   Из равенства этих треугольников получаем \[ DE=EC \] и \[ \angle BDE=\angle BCE \]
   Из построения: \[ AD=CE \] Но \[ CE=DE \] значит \[ AD=DE \] Следовательно, треугольник \(ADE\) равнобедренный, поэтому \[ \angle DAE=\angle AED \]
   Так как точка \(D\) лежит на стороне \(AB\), а точка \(E\) лежит на стороне \(AC\), то \[ \angle DAE=\angle BAC \] Значит, \[ \angle AED=\angle BAC \] Тогда в треугольнике \(ADE\) \[ \angle ADE=180^\circ-2\angle BAC \]
   Точки \(A\), \(D\), \(B\) лежат на одной прямой, поэтому углы \(ADE\) и \(BDE\) смежные. Значит, \[ \angle BDE=180^\circ-\angle ADE \] Следовательно, \[ \angle BDE=2\angle BAC \]
   Но из равенства треугольников \[ \angle BDE=\angle BCA \] Тогда, \[ \angle BCA=2\angle BAC \]
   Ответ. \(\angle BCA\) вдвое больше \(\angle BAC\).
8. Задача. Если полк построить в шеренгу по \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), то в последней шеренге окажется \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) человек соответственно. Какое наименьшее число людей служит в полку?
   Решение. Пусть в полку \(x\) человек. Тогда по условию при делении числа \(x\) на \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) получается остаток, который на \(1\) меньше делителя. Значит, число \[ x+1 \] делится на все числа от \(2\) до \(9\). \[ 2=2 \] \[ 3=3 \] \[ 4=2^2 \] \[ 5=5 \] \[ 6=2\cdot 3 \] \[ 7=7 \] \[ 8=2^3 \] \[ 9=3^2 \] Значит, наименьшее такое число равно \[ 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \] \[ 8\cdot 9\cdot 5\cdot 7=2520 \] Следовательно, \[ x+1=2520 \] \[ x=2519 \]
   Ответ. \(2519\).