Юайти ✕ Школа ЦПМ из 10 в 11 класс 2026 год | Вариант 4 (профильное тестирование)

ШКОЛА ЦПМ

Пробный профильный вариант Юайти 1 (переход 10$\to$11 класс)

Математика

2026 год

1. На доске записаны $8$ различных положительных чисел. После прибавления к каждому из них одного и того же числа $d>0$ сумма обратных величин не изменилась. Какое наибольшее количество таких операций подряд можно выполнить? Докажите ответ.
2. В треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ пересекает описанную окружность вторично в точке $E$. Докажите, что $EA=EB+EC$ тогда и только тогда, когда $\tan\dfrac{B}{2}\tan\dfrac{C}{2}=\dfrac13$.
3. Найдите все натуральные $n$, для которых уравнение \[x(x+n)=y^2\] не имеет решений в натуральных числах $x$ и $y$.
4. В турнире по круговой системе каждый участник сыграл с каждым по одному разу. Докажите, что среди любых $6$ участников найдутся трое, из которых один победил двух других, а другой проиграл двум другим.
5. Решите уравнение в действительных числах: \[[x]+[2x]+[3x]+[4x]+[5x]=100.\]
6. Сформулируйте и докажите теорему Виета для квадратного уравнения.
7. Найдите все ошибки и неточности в приведённом решении и решите задачу корректно. Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[\begin{cases} (x-a)^2+y^2=4, & \\ x^2+(y-3)^2=9 & \end{cases}\] имеет единственное решение. «Решение». «Перед нами две окружности. Чтобы у системы было единственное решение, они должны внешним образом касаться. Тогда расстояние между центрами равно сумме радиусов: $a=5$. Значит, ответ только $a=5$.»