8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Школа №179 из 7 в 8 класс 16 марта 2024

Сложность:
Дата экзамена: 03.2024

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ШКОЛА 179


Вступительный экзамен (переход 7$\to$8 класс)


Математика


16 марта 2024

  1. На распродаже в магазине одежды Людмила нашла себе кофточку из старой коллекции со скидкой $45\%$. На кассе ей напомнили, что к получившейся стоимости можно применить скидку $8\%$ по дисконтной карте. В итоге Людмила заплатила $2024$ рубля. Какова первоначальная стоимость кофточки (без учёта всех скидок)?
  2. Сколько существует кратчайших путей из $A$ в $B$? Изобразите каждый из них на отдельном рисунке и докажите, что более коротких путей нет.
  3. В примере $* + ** + *** = ***$ под звёздочками скрываются все $10$ цифр. Найдите хотя бы один такой пример.
  4. Докажите, что следующие три прямые пересекаются в одной точке и найдите координаты этой точки: \[ y=x-5,\quad y=0{,}5x-3,\quad y=-2x+7. \] Постройте все три прямые на одном графике.
  5. а) Число $x=2$ является корнем уравнения \[ x^3+ax^2+x+6=0 \] (где $a$ — некоторый числовой коэффициент). Найдите ещё хотя бы один корень этого уравнения. б) Та же задача для уравнения \[ x^6+ax^2-17=0. \]
  6. В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(40^\circ\), а угол \(B\) равен \(60^\circ\). Биссектриса внешнего угла при вершине \(A\) пересекает прямую \(BC\) в точке \(K\), а перпендикуляр, опущенный из \(C\) на эту биссектрису, пересекает прямую \(AB\) в точке \(M\). Найдите угол \(BKM\).
  7. Петя на машине проезжает $504$ км на час быстрее, чем Вася на своей машине. Однако в дождливые дни Петя сбрасывает скорость на треть и на то же расстояние тратит времени на два часа больше Васи. Найдите скорость машины Пети.
  8. Какое наименьшее значение может принимать выражение \[ 5x^2+6xy+4x+2y^2+4y+21{,}9\;? \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ШКОЛА 179


Вступительный экзамен (переход 7$\to$8 класс)


Математика. Решения


16 марта 2024

  1. Задача. На распродаже кофточка сначала продавалась со скидкой $45\%$, а потом к новой цене применили ещё скидку $8\%$ по карте. В итоге заплатили $2024$ рубля. Нужно найти первоначальную цену.
    Решение. Пусть первоначальная цена равна $x$ рублей. После скидки $45\%$ осталось $55\%$ цены, то есть $\frac{55}{100}x$. После скидки $8\%$ от этой суммы осталось $\frac{92}{100}$, поэтому \[ x\cdot \frac{55}{100}\cdot \frac{92}{100}=2024. \] Получаем \[ x\cdot \frac{506}{1000}=2024, \qquad x=2024\cdot \frac{1000}{506}. \qquad x=4000. \]
    Ответ. $4000$ рублей.
  2. Задача. Найти число кратчайших путей из $A$ в $B$ на данном рисунке.

    Решение. Без диагонали любой путь из $A$ в $B$ состоит из $8$ сторон маленьких прямоугольников. Если идти через диагональ, то до начала диагонали надо пройти $4$ стороны, потом одну диагональ, а от конца диагонали до $B$ ещё $2$ стороны. Диагональ прямоугольника короче суммы двух его сторон, значит любой кратчайший путь обязан проходить по диагонали. Короче пути быть не может. До точки начала диагонали есть $3$ кратчайших пути:
    вверх-вверх-вправо-вправо;
    вверх-вправо-вправо-вверх;
    вправо-вправо-вверх-вверх.
    От точки $D$ до $B$ есть $2$ кратчайших пути: вверх-вправо и вправо-вверх. Значит, всего кратчайших путей \[ 3\cdot 2=6. \]
    Ответ. $6$.
  3. Задача. В примере $*+**+***=***$ под звёздочками скрываются $9$ разных цифр. Нужно найти хотя бы один такой пример.
    Решение. Нужно подобрать однозначное, двузначное и трёхзначное числа так, чтобы в их записи использовались $9$ разных цифр. Например, подходит равенство $1+42+695=738$. Проверим: $1+42=43$, а $43+695=738$. В этом примере использованы цифры $1,2,3,4,5,6,7,8,9$, и все они различны.
    Ответ. Например, $1+42+695=738$.
  4. Задача. Доказать, что прямые $y=x-5$, $y=0{,}5x-3$ и $y=-2x+7$ пересекаются в одной точке, и найти её координаты.
    Решение. Найдём точку пересечения первых двух прямых: \[ x-5=0{,}5x-3. \] Тогда $0{,}5x=2$, значит $x=4$. Подставляем в любое из уравнений: \[ y=4-5=-1. \] Получили точку $(4;-1)$. Проверим третью прямую: \[ y=-2\cdot 4+7=-8+7=-1. \] Значит, точка $(4;-1)$ лежит и на третьей прямой, следовательно, все три прямые пересекаются в одной точке. Для построения удобно взять по две точки на каждой прямой: для $y=x-5$ это $(4;-1)$ и $(5;0)$, для $y=0{,}5x-3$ это $(4;-1)$ и $(6;0)$, для $y=-2x+7$ это $(4;-1)$ и $(3;1)$.
    Ответ. Прямые пересекаются в точке $(4;-1)$.
  5. Задача. а) Число $x=2$ является корнем уравнения $x^3+ax^2+x+6=0$. Найти ещё хотя бы один корень. б) Число $x=2$ является корнем уравнения $x^6+ax^2-17=0$. Найти ещё хотя бы один корень.
    Решение. а) Подставим $x=2$: \[ 2^3+a\cdot 2^2+2+6=0, \] \[ 8+4a+2+6=0, \qquad 4a+16=0, \qquad a=-4. \] Тогда уравнение становится таким: \[ x^3-4x^2+x+6=0. \] Проверим простые целые числа. При $x=3$ получаем \[ 27-36+3+6=0. \] Значит, ещё один корень – $3$.
    б) Подставим $x=2$: \[ 2^6+a\cdot 2^2-17=0, \] \[ 64+4a-17=0, \qquad 4a+47=0, \qquad a=-\frac{47}{4}. \] В этом уравнении есть только чётные степени $x$, поэтому вместе с корнем $x=2$ сразу получаем и корень $x=-2$.
    Ответ. а) Например, $x=3$; б) $x=-2$.
  6. Задача. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\circ$, угол $B$ равен $60^\circ$. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $K$, а перпендикуляр, опущенный из $C$ на эту биссектрису, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Найти угол $BKM$.
    % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % A % B % C % M % K % % 40° % 60° % 20° % %
    Решение. Угол $C$ равен $180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$. Так как $AM$ – продолжение стороны $AB$, то угол $CAM$ является внешним углом при вершине $A$ и равен $140^\circ$. Биссектриса $AK$ делит его пополам, значит $\angle CAK=\angle KAM=70^\circ$. Поскольку $CM\perp AK$, получаем $\angle ACM=20^\circ$ и $\angle CMA=20^\circ$. Следовательно, $AC=AM$, то есть треугольник $ACM$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины является серединным перпендикуляром к основанию, значит точка $K$, лежащая на этой биссектрисе, равноудалена от $C$ и $M$. Поэтому $KC=KM$. Так как $K$ лежит на прямой $BC$, имеем $\angle ACK=180^\circ-80^\circ=100^\circ$, откуда $\angle KCM=100^\circ-20^\circ=80^\circ$. В треугольнике $KCM$ стороны $KC$ и $KM$ равны, значит и углы при основании равны: $\angle KCM=\angle KMC=80^\circ$. Тогда \[ \angle CKM=180^\circ-80^\circ-80^\circ=20^\circ. \] Так как точки $B$, $C$, $K$ лежат на одной прямой, то $\angle BKM=\angle CKM=20^\circ$.
    Ответ. $20^\circ$.
  7. Задача. Петя проезжает $504$ км на час быстрее, чем Вася. В дождь Петя уменьшает свою скорость на треть и на то же расстояние тратит на $2$ часа больше Васи. Найти скорость машины Пети.
    Решение. Пусть Вася проезжает $504$ км за $t$ часов. Тогда Петя в обычный день проезжает это расстояние за $(t-1)$ часов. Если скорость уменьшить на треть, то останется $\frac{2}{3}$ прежней скорости, а время увеличится в $\frac{3}{2}$ раза. Значит, в дождь Петя едет \[ \frac{3}{2}(t-1) \] часа. По условию это на $2$ часа больше времени Васи: \[ \frac{3}{2}(t-1)=t+2. \] Умножим на $2$: \[ 3(t-1)=2(t+2), \] \[ 3t-3=2t+4, \qquad t=7. \] Значит, Петя в обычный день тратит $7-1=6$ часов. Тогда его скорость равна \[ 504:6=84. \]
    Ответ. $84$ км/ч.
  8. Задача. Найти наименьшее значение выражения \[ 5x^2+6xy+4x+2y^2+4y+21{,}9. \]
    Решение. Преобразуем выражение: \[ 5x^2+6xy+4x+2y^2+4y+21{,}9=(2x+y)^2+(x+y+2)^2+17{,}9. \] Сумма квадратов не может быть отрицательной, значит \[ (2x+y)^2+(x+y+2)^2\geq 0. \] Поэтому всё выражение не меньше, чем $17{,}9$. Равенство получится, когда оба квадрата равны нулю: \[ 2x+y=0, \qquad x+y+2=0. \] Отсюда $x=2$, $y=-4$.
    Ответ. Наименьшее значение равно $17{,}9$.
Материалы школы Юайти