8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) Устный экзамен из 4 в 5 класс 3 апреля 2026 | Вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.04.2026

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


Вариант 1 (переход 5 $\to$ 6 класс)


Устный экзамен


3 апреля 2026

  1. Паша пытался составить палиндром из чисел от 2 до 99. Докажите, что у него не получится.
  2. Решите ребус: \[ \frac{\text{ПЯТЬ}}{\text{ШЕСТЬ}}=\frac{5}{6} \] Каждая отдельная буква означает цифру от 0 до 9. Сколько решений имеет ребус?
  3. Для квадратного физкультурного зала купили 2 квадратных мата, площадь одного в 4 раза больше другого. Если расположить маты в соседних углах зала, то площадь пересечения составит 14 кв.\ м. Если расположить маты в противоположных углах зала, то площадь пересечения составит 4 кв.\ м. Найти размеры зала.
  4. Барон и друзья съели 10 обедов. А барон за каждый обед съедал больше, чем 9 некоторых друзей суммарно. Привести пример, что каждый друг за 10 обедов съел больше барона.
  5. Если налить в чашку \( \frac13 \) объёма мёда и добавить ложку дёгтя, то наполнится \( \frac12 \) высоты чашки. Если налить в чашку \( \frac12 \) высоты мёда и добавить ложку дёгтя, то получится дёгтя в 10 раз меньше по объёму, чем мёда. Сколько вмещается ложек мёда в чашке?
  6. У Маши есть набор из 7-ми разных по форме 4-клеточных фигур. Она пыталась составить прямоугольник \(4\times 7\). Фигуры можно повернуть, но нельзя переворачивать. Докажите, что у неё получится составить прямоугольник из фигур.
  7. Гонщики выехали в одном направлении в разное время. Дорога состояла из асфальта и грунта. В середине дороги из асфальта они встретились, потом они также встретились в середине грунтовой дороги. Какой гонщик провёл меньше времени в пути?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


Вариант 1. Решения (переход 5 $\to$ 6 класс)


Устный экзамен


3 апреля 2026

  1. Задача. Паша хотел, записав все числа от 2 до 99 по одному разу в некотором порядке, получить палиндром. Докажите, что это невозможно.
    Решение. Посчитаем, сколько раз встречается каждая цифра. Цифра 0 встречается 9 раз: только в числах 10, 20, ..., 90. Цифра 1 встречается 19 раз: 10 раз в разряде десятков в числах от 10 до 19 и 9 раз в разряде единиц в числах 11, 21, ..., 91. Каждая из цифр 2, 3, ..., 9 встречается по 20 раз.
    В палиндроме цифры на одинаковом расстоянии от начала и от конца равны. Поэтому каждая цифра должна встречаться чётное число раз. Но цифра 0 встречается 9 раз, а цифра 1 встречается 19 раз, то есть нечётное число раз. Получилось противоречие.
    Ответ. Не получится.
  2. Задача. Решите ребус \[ \frac{\text{ПЯТЬ}}{\text{ШЕСТЬ}}=\frac{5}{6}. \] Каждая буква обозначает цифру, одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры. Сколько решений имеет ребус?
    Решение. Обозначим числа ПЯТЬ и ШЕСТЬ через \(A\) и \(B\). Тогда \[ \frac{A}{B}=\frac{5}{6}, \] значит, \[ 6A=5B. \] Число \(5B\) делится на 2, значит, \(B\) чётное. Поэтому последняя цифра в слове ШЕСТЬ, то есть буква Ь, чётная.
    С другой стороны, число \(6A\) делится на 5, значит, \(A\) делится на 5. Поэтому последняя цифра числа ПЯТЬ, то есть та же буква Ь, равна 0 или 5. Так как она ещё и чётная, получаем Ь \(=0\).
    Тогда \[ A=10\cdot \text{ПЯТ}, \qquad B=10\cdot \text{ШЕСТ}, \] и после сокращения на 10 имеем \[ 6\cdot \text{ПЯТ}=5\cdot \text{ШЕСТ}. \] Значит, число ПЯТ делится на 5, поэтому его последняя цифра Т равна 0 или 5. Но Т не может быть 0, так как Ь уже равно 0 и буквы разные. Значит, Т \(=5\).
    Тогда число ШЕСТ оканчивается на 5. Но из равенства \(6\cdot \text{ПЯТ}=5\cdot \text{ШЕСТ}\) следует, что число ШЕСТ делится на 6. Число, оканчивающееся на 5, не может делиться на 6. Противоречие.
    Ответ. Решений нет.
  3. Задача. Для квадратного зала купили два квадратных мата. Площадь одного в 4 раза больше площади другого. Если положить маты в соседние углы зала, то площадь пересечения равна \(14\ \text{м}^2\). Если положить маты в противоположные углы, то площадь пересечения равна \(4\ \text{м}^2\). Найдите размеры зала.
    Решение. Если площадь одного мата в 4 раза больше площади другого, то сторона большого мата в 2 раза больше стороны малого.
    Сначала положим маты в противоположные углы. Тогда их пересечение будет квадратом. Его площадь равна \(4\ \text{м}^2\), значит, сторона этого квадрата равна \(2\) м.
    Теперь положим маты в соседние углы. Тогда пересечение будет прямоугольником. Одна его сторона такая же, как и раньше, то есть \(2\) м. Другая сторона равна стороне меньшего мата.
    Площадь этого прямоугольника \(14\ \text{м}^2\), значит, сторона меньшего мата равна \(14:2=7\) м. Тогда сторона большего мата равна \(14\) м.
    Чтобы найти сторону зала, сложим стороны двух матов и вычтем общую часть: \(7+14-2=19\) м.
    Ответ. Размеры зала: \(19\ \text{м}\times 19\ \text{м}\).
  4. Задача. Барон и его друзья съели 10 обедов. При этом на каждом обеде барон съедал больше, чем 9 некоторых друзей вместе. Приведите пример, когда каждый друг за все 10 обедов съел больше барона.
    Решение. Такой пример можно построить. Пусть у барона 10 друзей. На каждом обеде барон съедает 10 порций.
    На первом обеде первый друг съедает 100 порций, а остальные 9 друзей – по 1 порции. На втором обеде 100 порций съедает уже второй друг, а остальные 9 друзей – по 1 порции. И так далее: на каждом обеде один новый друг ест 100 порций, а остальные 9 друзей едят по 1 порции.
    Тогда на каждом обеде можно взять тех 9 друзей, которые съели по 1 порции. Вместе они съели 9 порций, а барон съел 10, то есть барон съел больше.
    За 10 обедов барон съест \(10\cdot 10=100\) порций. Каждый друг один раз съест 100 порций и ещё 9 раз по 1 порции, всего \(100+9=109\) порций. Это больше, чем у барона.
    Ответ. Например, подходит описанный выше пример.
  5. Задача. Если налить в чашку \(\frac13\) её объёма мёда и добавить ложку дёгтя, то чашка заполнится до половины высоты. Если налить мёд до половины высоты чашки и добавить ложку дёгтя, то дёгтя по объёму получится в 10 раз меньше, чем мёда. Сколько ложек мёда вмещает чашка?
    Решение. Объём чашки до половины её высоты в обоих случаях один и тот же.
    По второму условию, если в чашке мёд до половины высоты, то объём мёда в 10 раз больше объёма одной ложки дёгтя. Значит, половина высоты чашки вмещает 10 ложек.
    По первому условию, та же половина высоты чашки равна \(\frac13\) всей чашки и ещё 1 ложке. Значит, \(\frac13\) чашки вмещает \(10-1=9\) ложек. Тогда вся чашка вмещает \(9\cdot 3=27\) ложек.
    Ответ. 27 ложек.
  6. Задача. У Маши есть набор из 7 разных по форме 4-клеточных фигур. Фигуры можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Нужно доказать, что из них нельзя составить прямоугольник \(4\times 7\).
    Решение. Раскрасим прямоугольник \(4\times 7\) в шахматном порядке в два цвета. Так как клеток всего \(28\), то чёрных клеток будет \(14\), и белых тоже \(14\).
    Рассмотрим 7 фигур из набора. Среди них есть одна Т-образная фигура, квадрат, палка, два уголка и два зигзага. У квадрата, палки, уголков и зигзагов всегда по 2 клетки одного цвета и по 2 клетки другого цвета.
    А у Т-образной фигуры при любой повороте получается 3 клетки одного цвета и 1 клетка другого цвета.
    Значит, если сложить все 7 фигур, то у шести фигур вместе получится поровну клеток двух цветов: \(12\) и \(12\). После добавления Т-образной фигуры получится либо \(15\) клеток одного цвета и \(13\) другого, либо наоборот.
    Но в прямоугольнике \(4\times 7\) клеток двух цветов поровну: \(14\) и \(14\). Такого быть не может.
    Ответ. Не получится.
  7. Задача. Два гонщика выехали по одной дороге в одном направлении в разное время. Дорога состояла из асфальта и грунта. Они встретились в середине асфальта, а потом ещё раз встретились в середине грунта. Какой гонщик провёл меньше времени в пути?
    Решение. Пусть первый гонщик тратит на половину асфальта \(a\) минут, а на половину грунта \(c\) минут. Пусть второй гонщик тратит на половину асфальта \(b\) минут, а на половину грунта \(d\) минут.
    От первой встречи до второй первый гонщик проехал вторую половину асфальта и первую половину грунта, то есть ехал \(a+c\) минут. Второй за это же время проехал вторую половину асфальта и первую половину грунта, то есть ехал \(b+d\) минут. Так как они начали этот участок одновременно и закончили его одновременно, то \[ a+c=b+d. \]
    Весь путь первый гонщик ехал \(2a+2c=2(a+c)\) минут, а второй \(2b+2d=2(b+d)\) минут. Эти величины равны.
    Ответ. Никто. Оба гонщика провели в пути одинаковое время.
Материалы школы Юайти