Лицей № 1525 «Воробьёвы Горы» из 6 в 7 класс 29 марта 2026 | Вариант 1
Печать
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы»
Переход $6 \to 7$ класс
Вступительная работа
29 марта 2026
- Вычислить $(0{,}014\cdot 1\frac{2}{3}-0{,}286:(-0{,}6)):(-0{,}025)$.
- Сравните значения выражений $\left(\left(-1\frac{1}{8}\right)^2-2\frac{1}{16}\right)\cdot\frac{8}{17}$ и $-\frac{2{,}25\cdot 1\frac{7}{8}}{3{,}75\cdot 3\frac{3}{4}}$.
- Найдите значение выражения $\frac{2}{9}\cdot(2{,}7a-4{,}5b)-1\frac{1}{6}\cdot(2{,}4a+1\frac{1}{35}b)$, если $a+b=-1$.
- За первый час автомобилист проехал 50 километров и рассчитал, что если он будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на $20\%$ и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько он был в пути?
- Маша и Вика считали котят. Маша насчитала половину от того, что насчитала Вика, и ещё 9 котят. Вика насчитала половину от того, что насчитала Маша, и ещё 6 котят. Сколько было котят, если и Маша, и Вика ошиблись на 1 котёночка?
- Даны точки $A(-p;q)$, $B(p;-q)$ и $C(3p;q)$, где $p$ и $q$ отличны от нуля. Найдите координаты точек пересечения сторон треугольника $ABC$ с осями координат.
- Начав с верхнего левого угла, пройдите в нижний правый угол, переступая только через стороны квадратиков (не через вершины!) и побывав в каждом белом квадрате по одному разу (в цветные клетки заходить нельзя!).
- Найдите какие-нибудь три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат целого числа, отличного от 1.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы»
Решения. Переход $6 \to 7$ класс.
Вступительная работа
29 марта 2026
- Задача. Вычислить \((0{,}014\cdot 1\frac{2}{3}-0{,}286:(-0{,}6)):(-0{,}025)\).
Решение. \(1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\), поэтому \(0{,}014\cdot 1\frac{2}{3}=0{,}014\cdot\frac{5}{3}=\frac{7}{300}\). Далее \(0{,}286:(-0{,}6)=\frac{286}{1000}:\left(-\frac{6}{10}\right)=-\frac{143}{300}\). Тогда в скобках получаем \(\frac{7}{300}-\left(-\frac{143}{300}\right)=\frac{150}{300}=\frac{1}{2}\). Осталось вычислить \(\frac{1}{2}:(-0{,}025)=\frac{1}{2}:\left(-\frac{1}{40}\right)=-20\).
Ответ. \(-20\). - Задача. Сравнить значения выражений \(\left(\left(-1\frac{1}{8}\right)^2-2\frac{1}{16}\right)\cdot\frac{8}{17}\) и \(-\frac{2{,}25\cdot 1\frac{7}{8}}{3{,}75\cdot 3\frac{3}{4}}\).
Решение. Первое выражение равно \(\left(\frac{81}{64}-\frac{33}{16}\right)\cdot\frac{8}{17}=\left(\frac{81}{64}-\frac{132}{64}\right)\cdot\frac{8}{17}=-\frac{51}{64}\cdot\frac{8}{17}=-\frac{3}{8}\). Второе выражение равно \(-\frac{\frac{9}{4}\cdot\frac{15}{8}}{\frac{15}{4}\cdot\frac{15}{4}}=-\frac{3}{10}\). Так как \(-\frac{3}{8}<-\frac{3}{10}\), первое выражение меньше второго.
Ответ. Первое выражение меньше второго. - Задача. Найти значение выражения \(\frac{2}{9}\cdot(2{,}7a-4{,}5b)-1\frac{1}{6}\cdot(2{,}4a+1\frac{1}{35}b)\), если \(a+b=-1\).
Решение. Преобразуем каждую часть: \(\frac{2}{9}\cdot(2{,}7a-4{,}5b)=\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{27}{10}a-\frac{9}{2}b\right)=\frac{3}{5}a-b\). Далее \(1\frac{1}{6}\cdot(2{,}4a+1\frac{1}{35}b)=\frac{7}{6}\cdot\left(\frac{12}{5}a+\frac{36}{35}b\right)=\frac{14}{5}a+\frac{6}{5}b\). Значит, всё выражение равно \(\frac{3}{5}a-b-\frac{14}{5}a-\frac{6}{5}b=-\frac{11}{5}a-\frac{11}{5}b=-\frac{11}{5}(a+b)=\frac{11}{5}=2{,}2\).
Ответ. \(2{,}2\). - Задача. За первый час автомобилист проехал 50 км. Если бы дальше он ехал с той же скоростью, то опоздал бы на полчаса. Он увеличил скорость на \(20\%\) и приехал вовремя. Найти весь путь и время в пути.
Решение. Пусть после первого часа осталось проехать \(x\) км. Если ехать дальше со скоростью 50 км/ч, то на оставшийся путь нужно \(\frac{x}{50}\) ч. После увеличения скорости на \(20\%\) скорость стала 60 км/ч, и на тот же путь потребовалось \(\frac{x}{60}\) ч. Разность этих времён равна получасу: \(\frac{x}{50}-\frac{x}{60}=\frac{1}{2}\). Получаем \(\frac{x}{300}=\frac{1}{2}\), значит, \(x=150\). Тогда весь путь равен \(50+150=200\) км. Всё время в пути равно \(1+\frac{150}{60}=3{,}5\) ч, то есть 3 ч 30 мин.
Ответ. 200 км, 3 ч 30 мин. - Задача. Маша насчитала половину того, что насчитала Вика, и ещё 9 котят. Вика насчитала половину того, что насчитала Маша, и ещё 6 котят. Обе ошиблись на 1 котёнка. Сколько было котят на самом деле?
Решение. Пусть Маша насчитала \(M\) котят, а Вика — \(V\) котят. Тогда \(M=\frac{V}{2}+9\) и \(V=\frac{M}{2}+6\). Подставим второе в первое: \(M=\frac{1}{2}\left(\frac{M}{2}+6\right)+9=\frac{M}{4}+12\). Тогда \(\frac{3M}{4}=12\), откуда \(M=16\), а \(V=14\). Настоящее число котят отличается от 16 на 1 и от 14 тоже на 1. Такое число только одно: 15.
Ответ. 15 котят. - Задача. Даны точки \(A(-p;q)\), \(B(p;-q)\) и \(C(3p;q)\), где \(p\ne0\) и \(q\ne0\). Найти координаты точек пересечения сторон треугольника \(ABC\) с осями координат.
Решение. Точки \(A\) и \(B\) имеют противоположные координаты, значит, начало координат \((0;0)\) — середина стороны \(AB\). Поэтому сторона \(AB\) пересекает обе оси в точке \((0;0)\). У точек \(A\) и \(C\) одинаковая ордината \(q\), значит, сторона \(AC\) идёт по горизонтали и пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;q)\). У стороны \(BC\) ординаты концов равны \(-q\) и \(q\), поэтому значение \(0\) получается посередине. Значит, соответствующая абсцисса тоже середина между \(p\) и \(3p\), то есть \(2p\). Поэтому сторона \(BC\) пересекает ось \(Ox\) в точке \((2p;0)\).
Ответ. Сторона \(AB\) пересекает обе оси в точке \((0;0)\), сторона \(AC\) пересекает \(Oy\) в точке \((0;q)\), сторона \(BC\) пересекает \(Ox\) в точке \((2p;0)\). - Задача. Нужно пройти из отмеченной верхней левой белой клетки в отмеченную нижнюю правую белую клетку, переходя только через общие стороны клеток, не заходя в закрашенные клетки и побывав в каждой белой клетке ровно один раз.
Решение. Один из возможных маршрутов показан на рисунке.
Ответ. Например, подходит маршрут, показанный на рисунке. - Задача. Найти какие-нибудь три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат целого числа, отличного от 1.
Решение. Подойдут числа 48, 49 и 50. Действительно, \(48\) делится на \(16=4^2\), \(49\) делится на \(49=7^2\), а \(50\) делится на \(25=5^2\). Эти числа идут подряд.
Ответ. \(48, 49, 50\).
Материалы школы Юайти