Курчатовская школа Пробный тур из 4 в 5 класс 14 марта 2026 | Вариант 1
Печать
youit.school ©
КУРЧАТОВСКАЯ ШКОЛА
Вариант 1 (переход 4 $\to$ 5 класс)
Пробный тур олимпиады по математике
14 марта 2026
- Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге? Объясни свои действия.
- В школе учатся 1200 детей. У каждого ребенка 5 уроков каждый день. Каждый учитель ежедневно ведет ровно 4 урока, а на каждый урок ходит ровно 30 детей. Сколько учителей работает в школе? Подробно опиши свои действия.
- Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах. Запиши подробно свои действия.
- На большой ферме живут 630 кроликов. В один из дней фермер покормил их из расчёта 3 килограмма моркови на 70 кроликов, а надо было – 7 килограммов моркови на 90 кроликов. Сколько ещё моркови понадобится, чтобы правильно накормить кроликов? Ответ выразите в килограммах. Запиши объяснения.
- В классе 28 учеников. На экскурсию поехали все, кроме тех, кто остался в школе. Тех, кто поехал, на 12 больше, чем тех, кто остался. Сколько учеников поехали на экскурсию? Подробно опиши свои действия.
- За столом сидят два жителя острова. Один из них сказал: «По крайней мере, один из нас рыцарь». Второй ему ответил: «Ты лжец». Кто из них кто? Запиши свои рассуждения.
- Волк гонится за зайцем. В момент начала погони расстояние между ними – 150 м. Скорость волка – 18 км/ч, скорость зайца – 12 км/ч. Успеет ли заяц добежать до норы, если она находится в 400 м от него? Запиши объяснения.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
КУРЧАТОВСКАЯ ШКОЛА
Вариант 1. Решения (переход 4 $\to$ 5 класс)
Пробный тур олимпиады по математике
14 марта 2026
- Задача. Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге? Объясни свои действия.
Решение. Сначала посчитаем, сколько цифр ушло на страницы с 1 по 9. Это 9 страниц, на каждую идёт по 1 цифре, значит, всего \(9\) цифр.
На страницы с 10 по 99 идёт по 2 цифры. Таких страниц \(90\), значит, нужно \(90\cdot 2=180\) цифр.
На страницы с 1 по 99 вместе ушло \(9+180=189\) цифр. Тогда на трёхзначные номера осталось \(1392-189=1203\) цифры.
На одну трёхзначную страницу нужно 3 цифры, значит, трёхзначных страниц было \(1203:3=401\).
Первая трёхзначная страница – 100. Если страниц от 100 до последней 401, то последняя страница равна \(100+401-1=500\).
Ответ. 500 страниц. - Задача. В школе учатся 1200 детей. У каждого ребёнка 5 уроков каждый день. Каждый учитель ежедневно ведёт ровно 4 урока, а на каждый урок ходит ровно 30 детей. Сколько учителей работает в школе? Подробно опиши свои действия.
Решение. Сначала найдём, сколько всего посещений уроков бывает за день у всех детей. Каждый из 1200 детей ходит на 5 уроков, значит, всего получается \(1200\cdot 5=6000\) посещений уроков.
На одном уроке присутствуют 30 детей. Значит, всего в школе за день проводится \(6000:30=200\) уроков.
Каждый учитель ведёт по 4 урока в день. Тогда число учителей равно \(200:4=50\).
Ответ. 50 учителей. - Задача. Из деревни в город с постоянной скоростью выехал грузовик. Когда он проехал 42 км, из деревни по той же дороге с постоянной скоростью выехал автомобиль. Когда автомобиль проехал 30 км, грузовик находился на расстоянии 65 км от деревни. Найдите расстояние от деревни до города, если в город грузовик и автомобиль приехали одновременно. Ответ выразите в километрах. Запиши подробно свои действия.
Решение. Когда автомобиль выехал, грузовик уже был впереди на 42 км.
Потом автомобиль проехал 30 км. За это же время грузовик проехал от 42 км до 65 км, то есть \(65-42=23\) км.
Значит, за одинаковое время автомобиль проходит 30 км, а грузовик 23 км. За такой промежуток времени автомобиль догоняет грузовик на \(30-23=7\) км.
Чтобы приехать в город одновременно, автомобилю после выезда надо догнать те 42 км, на которые грузовик ушёл вперёд. Значит, таких промежутков времени было \(42:7=6\).
Тогда после выезда автомобиля он проехал \(30\cdot 6=180\) км. Это и есть расстояние от деревни до города.
Ответ. 180 км. - Задача. На большой ферме живут 630 кроликов. В один из дней фермер покормил их из расчёта 3 килограмма моркови на 70 кроликов, а надо было – 7 килограммов моркови на 90 кроликов. Сколько ещё моркови понадобится, чтобы правильно накормить кроликов? Ответ выразите в килограммах. Запиши объяснения.
Решение. Сначала найдём, сколько моркови фермер уже дал. Если на 70 кроликов нужно 3 кг, то на 630 кроликов, то есть на \(630:70=9\) таких групп, он дал \(3\cdot 9=27\) кг.
Теперь найдём, сколько моркови нужно было дать правильно. Если на 90 кроликов нужно 7 кг, то на 630 кроликов, то есть на \(630:90=7\) таких групп, нужно \(7\cdot 7=49\) кг.
Значит, не хватает \(49-27=22\) кг моркови.
Ответ. 22 кг. - Задача. В классе 28 учеников. На экскурсию поехали все, кроме тех, кто остался в школе. Тех, кто поехал, на 12 больше, чем тех, кто остался. Сколько учеников поехали на экскурсию? Подробно опиши свои действия.
Решение. Если бы поехавших и оставшихся было поровну, то было бы по \(28:2=14\) человек.
Но поехавших на 12 больше. Значит, надо от одной равной части 6 человек убрать и к другой 6 человек прибавить. Тогда разница станет 12.
Получаем: осталось \(14-6=8\) человек, а поехало \(14+6=20\) человек.
Ответ. 20 учеников. - Задача. За столом сидят два жителя острова. Один из них сказал: «По крайней мере, один из нас рыцарь». Второй ему ответил: «Ты лжец». Кто из них кто? Запиши свои рассуждения.
Решение. Предположим, что первый – лжец. Тогда его фраза «По крайней мере, один из нас рыцарь» ложная. Значит, среди них нет ни одного рыцаря, то есть оба лжецы.
Но тогда второй сказал правду: «Ты лжец». А лжец не может говорить правду. Получилось противоречие.
Значит, первый не лжец, а рыцарь. Тогда его фраза правдивая. Второй сказал: «Ты лжец». Это неправда, значит, второй – лжец.
Ответ. Первый – рыцарь, второй – лжец. - Задача. Волк гонится за зайцем. В момент начала погони расстояние между ними – 150 м. Скорость волка – 18 км/ч, скорость зайца – 12 км/ч. Успеет ли заяц добежать до норы, если она находится в 400 м от него? Запиши объяснения.
Решение. Переведём скорости в метры в минуту. Волк пробегает \(18000:60=300\) м в минуту, а заяц \(12000:60=200\) м в минуту.
Чтобы добежать до норы, зайцу нужно пройти 400 м. Значит, ему понадобится \(400:200=2\) минуты.
За одну минуту волк приближается к зайцу на \(300-200=100\) м. Значит, за 2 минуты он сократит расстояние на \(100\cdot 2=200\) м.
Но сначала между ними было только 150 м. Значит, волк догонит зайца раньше, чем заяц добежит до норы.
Ответ. Нет, не успеет.
Материалы школы Юайти