Юайти ✕ Школа №57 из 8 в 9 класс 2026 год | Вариант 3

Школа №57

Пробный вариант Юайти 3 (переход 8$\to$9 класс)

Математика

2026 год

1. Докажите, что если $8n + 15m$ делится на 41, то $7n + 8m$ тоже делится на 41.
2. Изобразите на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих условию $$|x-y| + |x+y-2| = 4.$$ Ответ обоснуйте.
3. Найдите остаток от деления многочлена $$x^{2025}+x^{2024}+\cdots+x+1$$ на $x^2+x+1$.
4. Сколькими способами можно расставить числа 1, 2, \ldots, 8 в ряд так, чтобы 1 и 2 не стояли рядом, число 3 стояло левее числа 4, а число 5 стояло между числами 6 и 7?
5. Сколько есть способов расставить 5 ладей на доске $5 \times 5$ так, чтобы никакие две не били друг друга и никакие две не располагались симметрично относительно побочной диагонали?
6. В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle A = 40^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $D$ так, что $BD = BC$. Найдите угол $ABD$.