Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 4 в 5 класс 20 марта 2026

ШКОЛА ИМ. ЧУЙКОВА | СИЛАЭДР

Вариант 1. (переход 4 $\to$ 5 класс)

Устный тур. Математика

20 марта 2026

• На решение отводится 90 минут.
• Во всех задачах требуется дать обоснованный ответ.
• Во всех задачах требуется найти все варианты ответа и доказать, что других нет.
• Желаем удачи!

1. Пусть $X$ – наименьшее число с суммой цифр 12. Найдите наименьшее число с суммой цифр $X+12$.
2. Изначально все мотыльки поклоняются Лучезарности. Каждый день половина поклоняющихся Лучезарности мотыльков возносятся и исчезают, а из оставшихся 3 мотылька предают Лучезарность и начинают поклоняться Бледному Королю (и тоже исчезают). После трёх таких дней остались невознёсшимися всего 4 мотылька. Сколько мотыльков вознеслись за эти три дня?
3. В примере ЧЕБУРЕК+ЧИКЕНРОЛЛ каждая буква обозначает цифру, причем разные буквы обозначают разные цифры. Может ли эта сумма получиться больше, чем 997295367?
4. На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной задачи и 2 очка – за решение простой задачи. Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу снималось одно очко. Рома решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько простых задач было предложено на конкурсе?
5. Закрасьте на доске $5\times 6$ шесть клеток так, чтобы шахматный конь не мог ровно за два хода попасть из одной закрашенной клетки в другую закрашенную клетку.
6. На острове живут Истинные Рыцари (всегда говорят правду), Лжецы (всегда лгут) и Ложные Рыцари (тоже всегда лгут). В круг встали 100 островитян и каждый сказал: «оба моих соседа – Рыцари». Какое наибольшее количество Ложных Рыцарей могло быть в круге, если известно, что Истинных Рыцарей ровно 24?
7. Дан набор из $N$ натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать из них любые два и одновременно увеличить или одновременно уменьшить их оба на одно и то же натуральное число так, чтобы числа всё еще остались натуральными. При каких $N$ такими операциями можно гарантированно сделать все числа одинаковыми?

ШКОЛА ИМ. ЧУЙКОВА | СИЛАЭДР

Вариант 1.Решения (переход 4 $\to$ 5 класс)

Устный тур. Математика

20 марта 2026

1. Задача. Пусть \(X\) – наименьшее число с суммой цифр 12. Найдите наименьшее число с суммой цифр \(X+12\).
   Решение. Наименьшее число с суммой цифр 12 равно 39, потому что однозначного такого числа нет, а из двузначных самое маленькое – 39.
   Тогда \(X+12=39+12=51\). Теперь ищем наименьшее число с суммой цифр 51. У пяти цифр сумма может быть не больше \(9+9+9+9+9=45\), значит, нужно хотя бы 6 цифр.
   Чтобы число было как можно меньше, первая цифра должна быть как можно меньше. После первой цифры остаются ещё 5 цифр, они вместе могут дать не больше 45. Значит, первая цифра должна быть не меньше 6. Берём 6, а остальные 5 цифр делаем равными 9.
   Получаем число 699999.
   Ответ. 699999.
2. Задача. Каждый день половина мотыльков возносится и исчезает, а потом ещё 3 мотылька исчезают. После трёх дней осталось 4 мотылька. Сколько мотыльков вознеслись за эти три дня?
   Решение. Будем идти с конца. После третьего дня осталось 4 мотылька. Значит, перед тем как исчезли последние 3 мотылька, их было 7.
   До этого половина мотыльков вознеслась, значит, в начале третьего дня их было 14, а вознеслось в этот день 7.
   Теперь так же идём назад. В конце второго дня осталось 14 мотыльков. Значит, перед исчезновением 3 мотыльков их было 17, а в начале второго дня – 34. Значит, во второй день вознеслось 17 мотыльков.
   В конце первого дня осталось 34 мотылька. Значит, перед исчезновением 3 мотыльков их было 37, а в начале первого дня – 74. Значит, в первый день вознеслось 37 мотыльков.
   Всего вознеслись \(37+17+7=61\) мотылёк.
   Ответ. 61.
3. Задача. В примере ЧЕБУРЕК+ЧИКЕНРОЛЛ каждая буква обозначает свою цифру, и разные буквы обозначают разные цифры. Может ли эта сумма быть больше, чем 997295367?
   Решение. Здесь 10 разных букв: Ч, Е, Б, У, Р, К, И, Н, О, Л. Значит, используются все цифры от 0 до 9.
   Чтобы сумма была как можно больше, самые большие цифры надо поставить на самые важные места. Буква Ч стоит в очень больших разрядах, потом по важности идут И, К, Е, потом Б и Н, потом Р, У, О, Л.
   Поэтому можно взять так: Ч\(=9\), И\(=8\), К\(=7\), Е\(=6\), Б\(=5\), Н\(=4\), Р\(=3\), У\(=2\), О\(=1\), Л\(=0\).
   Тогда ЧЕБУРЕК\(=9652367\), ЧИКЕНРОЛЛ\(=987643100\), и их сумма равна \(997295467\).
   Число \(997295467\) больше, чем \(997295367\).
   Ответ. Да, может.
4. Задача. На конкурсе были простые и сложные задачи. За сложную задачу давали 3 очка, за простую – 2 очка, а за каждую нерешённую простую задачу снимали 1 очко. Рома решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько простых задач было на конкурсе?
   Решение. Представим, что все 10 решённых задач были сложными. Тогда Рома получил бы \(10\cdot 3=30\) очков.
   Но на самом деле часть решённых задач была простыми, и за каждую такую задачу он получил на 1 очко меньше. Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу у него сняли ещё 1 очко.
   Значит, от 30 очков он потерял по 1 очку за каждую простую задачу конкурса. Он набрал 14 очков, значит, потерял \(30-14=16\) очков.
   Значит, простых задач было 16.
   Ответ. 16.
5. Задача. Закрасьте на доске \(5\times 6\) шесть клеток так, чтобы шахматный конь не мог ровно за два хода попасть из одной закрашенной клетки в другую закрашенную клетку.
   
   Решение. Пронумеруем строки сверху вниз числами от 1 до 5, а столбцы слева направо числами от 1 до 6.
   Можно закрасить клетки \((1,1)\), \((1,2)\), \((3,3)\), \((3,4)\), \((5,5)\), \((5,6)\).
   Проверкой ходов коня видно, что за два хода из одной такой клетки он не попадает ни в одну другую закрашенную клетку.
   Ответ. Например, подходят клетки \((1,1)\), \((1,2)\), \((3,3)\), \((3,4)\), \((5,5)\), \((5,6)\).
6. Задача. В круге стоят 100 островитян. Есть Истинные Рыцари, Лжецы и Ложные Рыцари. Истинных Рыцарей ровно 24. Каждый сказал: «Оба моих соседа – Рыцари». Какое наибольшее количество Ложных Рыцарей могло быть в круге?
   Решение. В словах «соседа – Рыцари» считаем рыцарями и Истинных, и Ложных Рыцарей.
   Каждый Ложный Рыцарь лжёт. Значит, рядом с ним должен стоять хотя бы один Лжец. Иначе оба его соседа были бы Рыцари, и его слова оказались бы правдой.
   Каждый Лжец тоже лжёт. Поэтому у Лжеца тоже должен быть хотя бы один сосед-Лжец. Значит, один Лжец не может стоять между двумя Ложными Рыцарями: иначе оба его соседа были бы Рыцари, и его слова стали бы правдой.
   Выходит, каждому Ложному Рыцарю можно поставить в пару соседнего Лжеца, и один Лжец не может быть в паре сразу с двумя Ложными Рыцарями. Значит, Ложных Рыцарей не больше, чем Лжецов.
   Кроме 24 Истинных Рыцарей, остаются \(100-24=76\) человек. Это Лжецы и Ложные Рыцари. Если Ложных Рыцарей не больше, чем Лжецов, то Ложных Рыцарей не больше 38.
   Покажем, что 38 получить можно. Для краткости будем писать: И – Истинный Рыцарь, Л – Лжец, Ф – Ложный Рыцарь.
   Поставим по кругу 14 кусков вида «Л, Л, Ф, И, Ф» и ещё 5 кусков вида «Л, Л, Ф, И, И, Ф». Тогда Лжецов будет \(14\cdot 2+5\cdot 2=38\), Ложных Рыцарей тоже \(14\cdot 2+5\cdot 2=38\), а Истинных Рыцарей \(14\cdot 1+5\cdot 2=24\).
   В каждом таком куске каждый И говорит правду, потому что рядом с ним стоят только Рыцари. Каждый Ф лжёт, потому что рядом с ним есть Лжец. Каждый Л тоже лжёт, потому что рядом с ним есть Лжец. Значит, такое расположение подходит.
   Ответ. 38.
7. Задача. Дан набор из \(N\) натуральных чисел. За одну операцию можно выбрать любые два числа и оба увеличить или оба уменьшить на одно и то же натуральное число так, чтобы числа остались натуральными. При каких \(N\) всегда можно сделать все числа одинаковыми?
   Решение. Если \(N\) чётное, то это не всегда возможно. Например, возьмём числа \(1,1,\ldots,1,2\). Их сумма нечётная.
   За одну операцию сумма меняется на чётное число, потому что одно и то же число прибавляют или вычитают сразу у двух чисел. Значит, чётность суммы не меняется.
   Но если при чётном \(N\) все числа стали одинаковыми, то их общая сумма должна быть чётной. Значит, при чётном \(N\) гарантии нет.
   Теперь пусть \(N\) нечётное. Если \(N=1\), то все числа уже одинаковые.
   Пусть \(N\ge 3\). Если общая сумма чётная, то нечётных чисел чётное количество. Разобьём их на пары и к каждой паре прибавим 1. Тогда все числа станут чётными.
   Если общая сумма нечётная, то при нечётном \(N\) чётных чисел чётное количество. Разобьём их на пары и к каждой паре прибавим 1. Тогда все числа станут нечётными.
   Теперь все числа одной чётности. Пусть \(M\) – самое большое из них. Тогда каждое меньшее число отличается от \(M\) на чётное число.
   Покажем, как увеличить только одно выбранное число на 2, не меняя остальные. Пусть нужно увеличить число \(A\). Возьмём ещё два числа \(B\) и \(C\). Сначала прибавим 1 к \(A\) и \(B\), потом прибавим 1 к \(A\) и \(C\), потом вычтем 1 из \(B\) и \(C\). Тогда \(A\) увеличится на 2, а \(B\) и \(C\) останутся такими же, как были.
   Так можно по очереди увеличить все меньшие числа до \(M\). Значит, при нечётном \(N\) это всегда можно сделать.
   Ответ. Только при нечётном \(N\).