8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 8 в 9 класс 15 марта 2026

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 15.03.2026

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА Л2Ш


Вариант 1 (переход 8 $\to$ 9 класс)


Вступительная работа. Математика


15 марта 2026

  1. Решите уравнение: \[ \frac{5x}{x^2+x-6}+\frac{14}{x^2+3x}=\frac{4}{x^2-2x} \]
  2. Решите уравнение: \[ \left|2x^2-2x-1\right|=x^2+x-2 \]
  3. Упростите выражение: \[ \sqrt{\frac{x}{x-a^2}}:\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}\right)+\frac{x}{4(x-a^2)} \]
  4. Найдите, какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов корней уравнения: \[ x^2+ax-2a-5=0 \]
  5. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 дней. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог выполнить эту работу каждый в отдельности?
  6. Известно, что \(x+\frac{1}{x}=4\). Найдите \(x^3+\frac{1}{x^3}\).
  7. Найдите все целые значения \(x,y\), удовлетворяющие уравнению \[ 3y(x-4)=4x+1 \]
  8. В квадрате провели дугу окружности с центром в вершине. Вне окружности вписали серый прямоугольник \(8\times 9\). Найдите сторону квадрата.
    9 8
  9. На сторонах четырехугольника лежат четыре вершины ромба. Стороны ромба параллельны диагоналям четырехугольника. Диагонали равны 14 и 35. Найдите сторону ромба.
  10. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания этой окружности с гипотенузой делит ее на отрезки 3 и 5. Найдите площадь треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА Л2Ш


Вариант 1. Решения (переход 8 $\to$ 9 класс)


Вступительная работа. Математика


15 марта 2026

  1. Задача. Решите уравнение \(\frac{5x}{x^2+x-6}+\frac{14}{x^2+3x}=\frac{4}{x^2-2x}\).
    Решение. Допустимые значения: \(x\ne -3\), \(x\ne 0\), \(x\ne 2\). Разложим знаменатели на множители и умножим уравнение на \(x(x+3)(x-2)\): \[ \frac{5x}{(x+3)(x-2)}+\frac{14}{x(x+3)}=\frac{4}{x(x-2)} \] \[ 5x^2+14(x-2)=4(x+3) \] \[ 5x^2+10x-40=0 \] \[ x^2+2x-8=0 \] \[ (x+4)(x-2)=0 \] Получаем \(x=-4\) или \(x=2\), но \(x=2\) не входит в допустимые значения, значит подходит только \(x=-4\).
    Ответ. \(-4\).
  2. Задача. Решите уравнение \(\left|2x^2-2x-1\right|=x^2+x-2\).
    Решение. Рассмотрим два случая. Если \(2x^2-2x-1\ge 0\), то \[ 2x^2-2x-1=x^2+x-2 \] \[ x^2-3x+1=0 \] \[ x=\frac{3\pm\sqrt5}{2} \] Из этих двух значений условию первого случая удовлетворяет только \(x=\frac{3+\sqrt5}{2}\). Если \(2x^2-2x-1<0\), то \[ -(2x^2-2x-1)=x^2+x-2 \] \[ 3x^2-x-3=0 \] \[ x=\frac{1\pm\sqrt{37}}{6} \] Здесь подходит только \(x=\frac{1+\sqrt{37}}{6}\). Итак, уравнение имеет два корня.
    Ответ. \(\frac{3+\sqrt5}{2}\), \(\frac{1+\sqrt{37}}{6}\).
  3. Задача. Упростите выражение \(\sqrt{\frac{x}{x-a^2}}:\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-a^2}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-a^2}}\right)+\frac{x}{4(x-a^2)}\).
    Решение. Обозначим \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{x-a^2}\). Тогда при допустимых значениях \(u^2-v^2=a^2\). Выражение в скобках равно \[ \frac{u-v}{u+v}-\frac{u+v}{u-v}=\frac{(u-v)^2-(u+v)^2}{u^2-v^2} \] \[ \frac{(u-v)^2-(u+v)^2}{u^2-v^2}=\frac{-4uv}{a^2} \] Тогда первая часть всего выражения равна \[ \sqrt{\frac{x}{x-a^2}}:\frac{-4uv}{a^2}=\frac{u}{v}\cdot\frac{a^2}{-4uv} \] \[ \frac{u}{v}\cdot\frac{a^2}{-4uv}=-\frac{a^2}{4(x-a^2)} \] Теперь складываем: \[ -\frac{a^2}{4(x-a^2)}+\frac{x}{4(x-a^2)}=\frac{x-a^2}{4(x-a^2)} \] \[ \frac{x-a^2}{4(x-a^2)}=\frac14 \] Значит, при допустимых значениях выражение упрощается до \(\frac14\).
    Ответ. \(\frac14\).
  4. Задача. Найдите наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения \(x^2+ax-2a-5=0\).
    Решение. Пусть корни равны \(x_1\) и \(x_2\). Дискриминант этого уравнения \[ D=a^2+8a+20 \] \[ D=(a+4)^2+4 \] Он всегда положителен, значит корни существуют при любом \(a\). По теореме Виета \[ x_1+x_2=-a \] \[ x_1x_2=-2a-5 \] Тогда \[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \] \[ x_1^2+x_2^2=a^2+4a+10 \] \[ a^2+4a+10=(a+2)^2+6 \] Наименьшее значение получается при \(a=-2\), и оно равно \(6\).
    Ответ. \(6\).
  5. Задача. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за \(12\) дней. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем второй сделал бы остальную половину, то вся работа была бы выполнена за \(25\) дней. Найдите, за какое время каждый из них мог выполнить эту работу отдельно.
    Решение. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней, а второй за \(y\) дней. Тогда их совместная производительность равна \[ \frac1x+\frac1y=\frac1{12} \] Если первый делает половину работы, а второй вторую половину, то на это уйдёт \[ \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=25 \] \[ x+y=50 \] Из первого уравнения получаем \[ \frac{x+y}{xy}=\frac1{12} \] \[ xy=600 \] Значит, числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \[ t^2-50t+600=0 \] \[ (t-20)(t-30)=0 \] Следовательно, один рабочий мог выполнить работу за \(20\) дней, а другой за \(30\) дней.
    Ответ. \(20\) дней и \(30\) дней.
  6. Задача. Известно, что \(x+\frac{1}{x}=4\). Найдите \(x^3+\frac{1}{x^3}\).
    Решение. Используем формулу куба суммы: \[ \left(x+\frac1x\right)^3=x^3+\frac1{x^3}+3\left(x+\frac1x\right) \] Подставим данное значение: \[ 4^3=x^3+\frac1{x^3}+3\cdot 4 \] \[ 64=x^3+\frac1{x^3}+12 \] Отсюда \[ x^3+\frac1{x^3}=52 \] Следовательно, искомое значение равно \(52\).
    Ответ. \(52\).
  7. Задача. Найдите все целые значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(3y(x-4)=4x+1\).
    Решение. Преобразуем уравнение: \[ 3y(x-4)=4x+1 \] \[ 3y(x-4)=4(x-4)+17 \] \[ (3y-4)(x-4)=17 \] Число \(17\) простое, значит его целые делители равны \(\pm 1\) и \(\pm 17\). Чтобы \(y\) было целым, число \(3y-4\) может быть только \(17\) или \(-1\). В первом случае \[ 3y-4=17 \] \[ y=7 \] \[ x-4=1 \] \[ x=5 \] Во втором случае \[ 3y-4=-1 \] \[ y=1 \] \[ x-4=-17 \] \[ x=-13 \] Итак, получаем две пары целых решений.
    Ответ. \((5,7)\) и \((-13,1)\).
  8. Задача. В квадрате проведена дуга окружности с центром в вершине. Вне окружности вписан прямоугольник \(8\times 9\). Найдите сторону квадрата.
    Решение. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Центр окружности находится в верхней левой вершине квадрата, а радиус окружности равен стороне квадрата. Верхняя левая вершина прямоугольника лежит на дуге. Тогда расстояние от центра окружности до этой точки равно \(a\). Горизонтальный катет равен \(a-9\), а вертикальный катет равен \(a-8\). По теореме Пифагора получаем \[ (a-9)^2+(a-8)^2=a^2 \] \[ a^2-34a+145=0 \] \[ (a-29)(a-5)=0 \] Получаем \(a=29\) или \(a=5\). Так как сторона квадрата должна быть больше \(9\), подходит только \(a=29\).
    Ответ. \(29\).
  9. Задача. На сторонах четырехугольника лежат четыре вершины ромба. Стороны ромба параллельны диагоналям четырехугольника. Диагонали четырехугольника равны \(14\) и \(35\). Найдите сторону ромба.

    Решение. Обозначим сторону ромба через \(x\). Пусть \(EFGH\) — этот ромб, причём \(E\in AB\), \(F\in BC\), \(G\in CD\), \(H\in DA\), а \(EF\parallel AC\), \(FG\parallel BD\). Тогда в треугольнике \(BAC\) треугольники \(BEF\) и \(BAC\) подобны, поэтому \[ \frac{BF}{BC}=\frac{EF}{AC} \] \[ \frac{BF}{BC}=\frac{x}{14} \] А в треугольнике \(CBD\) треугольники \(CFG\) и \(CBD\) подобны, поэтому \[ \frac{CF}{CB}=\frac{FG}{BD} \] \[ \frac{CF}{CB}=\frac{x}{35} \] Так как точка \(F\) лежит на стороне \(BC\), имеем \[ BF+CF=BC \] \[ \frac{BF}{BC}+\frac{CF}{CB}=1 \] Следовательно, \[ \frac{x}{14}+\frac{x}{35}=1 \] \[ \frac{x}{10}=1 \] \[ x=10 \] Значит, сторона ромба равна \(10\).
    Ответ. \(10\).
  10. Задача. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания этой окружности с гипотенузой делит её на отрезки \(3\) и \(5\). Найдите площадь треугольника.

    Решение. Пусть от вершины прямого угла длины касательных к окружности равны \(x\). Тогда по свойству касательных от одной точки катеты равны \(x+3\) и \(x+5\), а гипотенуза равна \(3+5=8\). По теореме Пифагора \[ (x+3)^2+(x+5)^2=8^2 \] \[ 2x^2+16x-30=0 \] \[ x^2+8x-15=0 \] Площадь треугольника равна \[ S=\frac{(x+3)(x+5)}{2} \] \[ S=\frac{x^2+8x+15}{2} \] Из уравнения выше следует \[ x^2+8x=15 \] Поэтому \[ S=\frac{30}{2} \] \[ S=15 \] Следовательно, площадь треугольника равна \(15\).
    Ответ. \(15\).
Материалы школы Юайти