Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 7 в 8 класс 15 марта 2026
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
Вариант 1 (переход 7 $\to$ 8 класс)
Вступительная работа
15 марта 2026
- Уравнение. Решите уравнение: \[ ||x-2|-6|=5 \]
- Значение. Вычислите: \[ \frac{28^{2k+1}}{(-14)^{2k}\cdot 4^{k-1}\cdot 49} \]
- Движение. Катер проплыл по озеру на 4 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 15 мин больше, чем по озеру. Найти расстояние, которое проплыл катер по реке, если его скорость по озеру 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч.
- Множители. Разложите на множители: \[ x^3-2x^2-4x+5 \]
- Значение. Вычислите: \[ 498^3-498^2-498\cdot 497-497^2-497^3 \]
- Наклейки. Катя, Даша и Арина собирали наклейки. Даша собрала наклеек на 50% больше, чем Катя, но на 25% меньше, чем Арина. На сколько процентов Арина собрала наклеек больше, чем Катя?
- Пары. Найдите все пары чисел \(x\) и \(y\), для каждой из которых \[ (x-y)^2+2x+4y+2xy+5=0 \]
- Функция. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой \(y=-2x+6\) и пересекается с графиком \(y=4x+3\) в точке, лежащей на оси абсцисс.
- Углы. Треугольник \(ABC\) равнобедренный \((AB=BC)\), \(\angle B=32^\circ\). \(AP\) – биссектриса треугольника, \(PK\parallel AB\), точка \(K\) лежит на стороне \(AC\). Найдите угол \(\angle KPA\).
- Треугольник. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) известно, что \(\angle B=30^\circ\). Серединный перпендикуляр к гипотенузе \(AB\) пересекает ее в точке \(M\), катет \(BC\) в точке \(K\). Найдите отношение \(CK\) к \(BC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
Вариант 1. Решения (переход 7 $\to$ 8 класс)
Вступительная работа
15 марта 2026
- Задача. Решите уравнение $||x-2|-6|=5$.
Решение. Обозначим $|x-2|$ через $t$, тогда $t\ge 0$ и получаем $|t-6|=5$. Отсюда $t-6=5$ или $t-6=-5$, значит $t=11$ или $t=1$. Тогда $|x-2|=11$, откуда $x=13$ или $x=-9$, и $|x-2|=1$, откуда $x=3$ или $x=1$.
Ответ. $-9;\ 1;\ 3;\ 13$. - Задача. Вычислите $\dfrac{28^{2k+1}}{(-14)^{2k}\cdot 4^{k-1}\cdot 49}$.
Решение. $(-14)^{2k}=14^{2k}$. Представим числа через простые множители: $28=2^2\cdot 7$, $14=2\cdot 7$, $4=2^2$, $49=7^2$. Тогда \[ 28^{2k+1}=2^{4k+2}\cdot 7^{2k+1}, \qquad 14^{2k}\cdot 4^{k-1}\cdot 49=2^{2k}\cdot 7^{2k}\cdot 2^{2k-2}\cdot 7^2=2^{4k-2}\cdot 7^{2k+2}. \] Делим: получаем $2^{4}\cdot 7^{-1}=\dfrac{16}{7}$.
Ответ. $\dfrac{16}{7}$. - Задача. Катер проплыл по озеру на 4 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 15 мин больше, чем по озеру. Найдите расстояние, которое проплыл катер по реке, если его скорость по озеру 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч.
Решение. Скорость катера против течения равна $8-2=6$ км/ч. Пусть по реке против течения катер проплыл $d$ км, тогда по озеру он проплыл $d+4$ км. Времена равны $\dfrac{d}{6}$ ч и $\dfrac{d+4}{8}$ ч, причём $\dfrac{d}{6}$ на 0,25 ч больше: $\dfrac{d}{6}=\dfrac{d+4}{8}+0{,}25$. Умножим на 24: $4d=3(d+4)+6$, откуда $4d=3d+18$ и $d=18$.
Ответ. 18 км. - Задача. Разложите на множители $x^3-2x^2-4x+5$.
Решение. Проверим $x=1$: $1-2-4+5=0$, значит $(x-1)$ является множителем. Деление многочлена на $(x-1)$ даёт $x^2-x-5$. Поэтому \[ x^3-2x^2-4x+5=(x-1)(x^2-x-5). \]
Ответ. $(x-1)(x^2-x-5)$. - Задача. Вычислите $498^3-498^2-498\cdot 497-497^2-497^3$.
Решение. Сгруппируем: \[ 498^3-497^3-(498^2+498\cdot 497+497^2). \] Так как $498^3-497^3=(498-497)(498^2+498\cdot 497+497^2)$, а $498-497=1$, то $498^3-497^3=498^2+498\cdot 497+497^2$. Значит, всё выражение равно 0.
Ответ. 0. - Задача. Даша собрала наклеек на 50% больше, чем Катя, но на 25% меньше, чем Арина. На сколько процентов Арина собрала наклеек больше, чем Катя?
Решение. Пусть у Кати 100 наклеек, тогда у Даши на 50% больше, то есть 150. Даша на 25% меньше Арины, значит 150 составляет 75% от количества Арины, поэтому у Арины $150:0{,}75=200$ наклеек. По сравнению со 100 у Кати это в 2 раза больше, то есть на 100% больше.
Ответ. На 100\%. - Задача. Найдите все пары чисел $x$ и $y$, для каждой из которых $(x-y)^2+2x+4y+2xy+5=0$.
Решение. Раскроем квадрат: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, тогда \[ x^2-2xy+y^2+2x+4y+2xy+5=x^2+y^2+2x+4y+5. \] Дополняем до квадратов: \[ x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad y^2+4y+4=(y+2)^2, \] поэтому $x^2+y^2+2x+4y+5=(x+1)^2+(y+2)^2$. Получаем $(x+1)^2+(y+2)^2=0$, значит $x+1=0$ и $y+2=0$.
Ответ. $x=-1,\ y=-2$. - Задача. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой $y=-2x+6$ и пересекается с графиком $y=4x+3$ в точке, лежащей на оси абсцисс.
Решение. Точка пересечения с осью абсцисс для прямой $y=4x+3$ находится из $0=4x+3$, значит $x=-\frac{3}{4}$ и точка равна $\left(-\frac{3}{4};0\right)$. Искомая прямая параллельна $y=-2x+6$, значит имеет наклон $-2$ и проходит через точку $\left(-\frac{3}{4};0\right)$. Тогда $0=-2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b$, откуда $b=-\frac{3}{2}$, значит $y=-2x-\frac{3}{2}$.
Ответ. $y=-2x-\frac{3}{2}$. - Задача. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), $\angle B=32^\circ$. $AP$ – биссектриса, $PK\parallel AB$, точка $K$ лежит на стороне $AC$. Найдите угол $\angle KPA$.
Решение. Так как $AB=BC$, то углы при основании равны: $\angle A=\angle C=\dfrac{180^\circ-32^\circ}{2}=74^\circ$. Биссектриса $AP$ делит угол $A$ пополам, значит $\angle BAP=37^\circ$. Так как $PK\parallel AB$, то угол между прямыми $PK$ и $PA$ равен углу между прямыми $AB$ и $AP$, то есть равен $\angle BAP=37^\circ$.
Ответ. $37^\circ$. - Задача. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$, $\angle B=30^\circ$. Серединный перпендикуляр к $AB$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Найдите отношение $CK$ к $BC$.
Решение. Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит $KA=KB$. Тогда треугольник $AKB$ равнобедренный, поэтому $\angle KAB=\angle ABK$. Так как $K$ лежит на $BC$, то $\angle ABK=\angle ABC=30^\circ$, значит $\angle KAB=30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\angle B=30^\circ$, поэтому $\angle A=60^\circ$, и луч $AK$ делит угол $A$ на $30^\circ$ и $30^\circ$, то есть $AK$ – биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы $\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{AB}{AC}$. При $\angle B=30^\circ$ катет $AC$ равен половине гипотенузы $AB$, значит $\dfrac{AB}{AC}=2$, поэтому $BK=2CK$ и $BC=BK+CK=3CK$. Тогда $\dfrac{CK}{BC}=\dfrac{1}{3}$.
Ответ. $\dfrac{1}{3}$.
Материалы школы Юайти