Школа №179 из 6 в 7 класс 2020 год, 14 мая

Листок №5. Устное собеседование

1. Можно ли разрезать квадрат на восемь различных частей одинаковой площади и одинакового периметра?
2. В Море Дождей живут осьминожки. Известно, что когда они встают в круг, каждая осьминожка своим цветом указывает, кто стоит по бокам от неё: красным – если обе осьминожки лживые, синим – если одна из боковых лживая, а другая нет. Если обе осьминожки по бокам честные, то осьминожка не меняет своего цвета (какого бы цвета ни была). На рассвете семь осьминожек встали в круг и все сразу перекрасились в синий цвет. Сколько из этих осьминожек были лживыми? Учти, что только честные осьминожки действуют по указанным правилам. Лживые никогда не покажут правду.
3. В тумане теплится восход.
   Копьём, мечом и кулаками
   С баранами и ветряками
   Сражаться едет Дон-Кихот$\ldots$
   Известно, что если барану снести голову, то вырастет две новых головы и новый хвост. Если барану снести две головы, то вырастет новая голова. Если снести три головы, то вырастет три головы. Если снести хвост, то вырастет новая голова и два новых хвоста. Если снести два хвоста, то ничего не вырастет. Если снести три хвоста, то вырастет три хвоста. А если извернуться и снести сразу голову и два хвоста, то в дань уважения ловкости сносящего, баран себе ничего нового не отрастит. Баран умирает, если у него снесли все головы и хвосты и ничего не должно вырасти. Дон-Кихот встретил барана с одной головой и без хвостов. Как ему убить барана за наименьшее количество действий?
4. Число тринадцать можно представить в виде суммы трёх целых слагаемых $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих условию \[ \frac{a}{b}=\frac{b}{c}, \] несколькими способами. Например, \[ 13 = 9 - 12 + 16 \qquad \text{и} \qquad \frac{9}{-12}=\frac{-12}{16}=-\frac{3}{4}. \] Найдите ещё три способа. Способы, отличающиеся только порядком чисел, считаются одинаковыми.
5. Ежата Серёга и Толик играют в такую игру: сначала Серёга пишет на доске составное число, затем Толик пишет любое натуральное число, не кратное числу Серёги. Затем, продолжая чередование, ребята дописывают на доску любые числа по следующему правилу: числа не должны повторяться и каждое новое число должно быть равно разности двух ранее написанных (из большего вычитается меньшее всегда). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Может ли кто-нибудь обеспечить себе победу как бы ни играл соперник? Если да, то как?
6. Какое наименьшее количество квадратиков клеточек нужно нарисовать на чистом листе бумаги, чтобы получилось изображение клетчатого квадрата $17\times 17$? Например, несложно нарисовать квадрат $3\times 3$. В оригинале далее приведены три способа (заштрихованы те клетки, которые мы рисуем).
   Можно заметить, что иногда клетки вылезают за границы рисуемого квадрата, что ничему не противоречит.