Школа №57 из 8 в 9 класс 2025 год Вариант 1

ШКОЛА 57

Вариант 1 (переход 8 $\to$ 9 класс)

Математика

2025 год

1. Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
2. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{l} x+xy+y=11,\\ x^2y+xy^2=30. \end{array} \right. \]
3. Найдите все возможные прямоугольные треугольники, один из катетов каждого из которых равен $3\sqrt{5}$, а гипотенуза и другой катет выражаются натуральными числами.
4. Пароль для входа в интернет-банк состоит из $4$ цифр. Сколько таких паролей можно составить, если известно, что он не должен содержать двух подряд идущих цифр ``7''?
5. На одной из сторон прямого угла с вершиной $O$ взяты две точки ($A$ и $B$), причем известно, что $OA=50$, а $OB=64$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся второй стороны угла.
6. Упростите выражения: a) $(5-\sqrt{3})^2+(2-3\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3}-1)^2$; b) $\sqrt{28-10\sqrt{3}}+\sqrt{31-12\sqrt{3}}-\sqrt{13-4\sqrt{3}}$.
7. Известно, что число $a>1$. Найдите минимальное значение выражения: $a+\frac{4}{a-1}$.
8. В параллелограмме, острый угол которого равен $60^\circ$, проведены биссектрисы всех четырех его углов. a) Что за четырехугольник образован их пересечениями? b) Найдите площадь этого четырехугольника, если стороны параллелограмма равны $4$ и $6$.
9. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал грузовой автомобиль, а через $1$ час и тоже из $A$ в $B$ отправилась легковая машина, которая прибыла в $B$ одновременно с грузовиком. Если бы оба автомобиля одновременно выехали из $A$ и $B$, но навстречу друг другу, то они встретились бы через $1$ час и $12$ минут после выезда. Сколько времени провел в пути от $A$ до $B$ грузовой автомобиль?
10. Сторона $BC$ прямоугольника $ABCD$ втрое больше другой его стороны $AB$. $BC$ точками $M$ и $N$ разделена на три равные части. Найдите сумму углов $AMB$, $ANB$ и $ACB$.
11. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки с длинами $4$ и $21$. Найдите стороны треугольника.
12. Велосипед и автомобиль выезжают одновременно навстречу друг другу из двух городов, расположенных на расстоянии $100$ км, и встречаются спустя $1$ ч $40$ мин. Известно, что $25$ км автомобиль проезжает на $30$ мин быстрее, чем велосипед проезжает $10$ км. Найдите скорость автомобиля.
13. Найдите, при каких значениях переменных выполняется равенство: \[ \left|3x+5y+11\right|+(3y+5x-3)^4=0. \]
14. На рисунке изображен график функции $f(x)=\left|ax^2+bx+c\right|$. Найдите $f(-3)$.
    
15. Большая диагональ делит высоту ромба, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длинами $10$ и $6$. Найдите сторону ромба.
16. Решите уравнение: \[ (x^2-4x)^2+(x-1)(x-3)=9. \]
17. При каких значениях $a$ уравнение \[ (x^2-4ax)\sqrt{x+8}=0 \] имеет три различных корня? ]