Физтех-лицей им. Капицы из 10 в 11 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 10 $\to$ 11 класс)

Математика

2026 год

1. Решите уравнение: \[ \sqrt{1+\sin 2x}=\sqrt{2}-\sin x-\cos x. \]
2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством: \[ \log_{x^2+y^2}(x-y)\ge 1. \]
3. Решите неравенство: \[ \log_{x-1}\Bigl((\log_2 x-2)(\log_2 x-5)\Bigr)\le 0. \]
4. Смешали $200$ г $60\%$-го раствора вещества и $300$ г $20\%$-го раствора того же вещества. Полученную смесь тщательно перемешали, после чего отлили из неё $250$ г и добавили $150$ г воды. Найдите процентное содержание вещества в получившемся растворе.
5. В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB=8$. Высота призмы равна $2\sqrt{2}$. Пусть $M$ — середина ребра $A_1C_1$.
   
   а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $BCM$ является прямоугольной трапецией.
   б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCM$.
6. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \sqrt{x-4}=-ax+4a+2 \] имеет ровно одно решение.
7. Про четырёхугольник $ABCD$ известно, что он вписан в окружность $\omega$, причём его углы $A$ и $D$ равны.
   
   а) Докажите, что $BC\parallel AD$.
   б) Найдите радиус окружности $\omega$, если $CD=9$, $\angle CDA=70^\circ$, $\angle ABD=80^\circ$.