Физтех-лицей им. Капицы из 9 в 10 класс 2026 год Вариант Юайти 2

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 2 (переход 9 $\to$ 10 класс)

Математика

2026 год

1. Упростите выражение (при $x>0$, $y>0$, $x\ne y$): \[ \left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-\sqrt[3]{y}-\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}. \]
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{x-7+\frac{9}{x-1}} + \sqrt{\frac{x-1}{(x-4)^2}} = \frac{5}{2}. \]
3. Решите неравенство: \[ \frac{|3-2x|}{\sqrt{5x-4}} \ge \sqrt{2x-1}. \]
4. Найдите множество корней уравнения, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{x} + 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = 2, \qquad x\ne 0,\ |x|<1. \]
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых один корень уравнения в четыре раза больше другого: \[ x^2 - (a+2)x + a + 1 = 0. \]
6. Внутри угла величиной $45^\circ$ расположена точка $K$, удалённая от сторон угла на расстояния $3$ и $3\sqrt2$. Найдите расстояние от точки $K$ до вершины угла.
7. Около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность. Известно, что \[ AB=3,\quad BC=5,\quad CD=3,\quad AD=8. \] Найдите $AC$.
8. В треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $B$ опущены высоты $AA_1$ и $BB_1$, которые пересекаются в точке $H$. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C$ и $H$ лежат на одной окружности.
9. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств: \[ \begin{cases} |x|+|y| \le 4, & \\ (|x|-2)^2 + y^2 \le 4. & \end{cases} \]
10. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $n^4+4$ является простым.