Физтех-лицей им. Капицы из 9 в 10 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 9 $\to$ 10 класс)

Математика

2026 год

1. Упростите выражение (при $a>0$, $b>0$, $a\ne b$): \[ \left( \frac{a^{\frac32}-b^{\frac32}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{a^{\frac32}+b^{\frac32}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right) \;\;\colon\;\; \sqrt{ab}. \]
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{36x^4 - 12x^2 + 1} + \bigl|6x^2 - 5\bigr| = 12x^2 - 4. \]
3. Решите неравенство: \[ \frac{|x-4|}{x^2-9x+20} \ge \frac{|x-4|}{2x^2-13x+20}. \]
4. Найдите множество корней уравнения, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{x} + 2 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + \dots = 7, \qquad x\ne 0,\ |x|<1. \]
5. Найдите все значения параметра $a$, при которых один корень уравнения в три раза больше другого: \[ x^2 - (a+5)x + 2a + 6 = 0. \]
6. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=10$, $AC=14$, $\cos\angle A=\dfrac35$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
7. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=10$, $BC=13$, $AC=17$. Найдите площадь параллелограмма.
8. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D$ ($D\ne A$). Докажите, что $BD=CD$.
9. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, & \\ |x| + |y| \ge 4. & \end{cases} \]
10. Устройство состоит из 5 независимых датчиков. Три из них срабатывают с вероятностью $0{,}9$, а два других – с вероятностью $0{,}6$. Найдите вероятность того, что сработают ровно 4 датчика.