Юайти ✕ Физтех-лицей им. Капицы из 8 в 9 класс 2026 год | Вариант 2

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 2 (переход 8 $\to$ 9 класс)

Математика

2026 год

1. Вычислите и упростите.
   1. Вычислите: \[ \left(\sqrt{27}-\sqrt{12}\right)\cdot\sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{5}-1}. \]
   2. Упростите выражение и укажите ОДЗ: \[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}\cdot\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{x-1}. \]
2. Решите уравнение (укажите область допустимых значений): \[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=2. \]
3. Постройте график функции: \[ y=\frac{|x+1|}{x^2-4}. \] Укажите область определения, точки пересечения с осями координат и вертикальные/горизонтальные асимптоты (если есть).
4. Текстовая задача (работа).
   Первый насос за час откачивает на \(50\%\) больше воды, чем второй насос. Работая вместе, они откачивают весь объём за \(6\) часов. За сколько часов каждый насос откачает этот объём, работая отдельно?
5. Решите неравенство: \[ \frac{x^2-9}{x^2-4x}<0. \]
6. Параметр.
   Рассмотрите уравнение \[ x^2-2(a-1)x+(a^2-4)=0. \]
   1. При каких значениях \(a\) уравнение не имеет действительных корней?
   2. При каких значениях \(a\) уравнение имеет ровно один действительный корень? Найдите этот корень.
   3. При каких значениях \(a\) уравнение имеет два различных действительных корня, причём оба корня положительны?
7. Геометрия (медиана).
   В треугольнике \(ABC\) \(AM\) — медиана, \(AB=13\), \(AC=15\), \(BC=14\). Найдите длину медианы \(AM\).
8. Геометрия (касательная и секущая).
   Из точки \(P\), лежащей вне окружности, проведены касательная \(PT\) и секущая \(PAB\) (\(A\) ближе к \(P\)). Известно, что \(PA=4\), \(AB=9\). Найдите \(PT\).
9. Геометрия (трапеция).
   В трапеции \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)) диагонали пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AB=12\), \(CD=18\). Найдите отношение площадей \(S_{AOB}:S_{COD}\).
10. Теория чисел (диофантово уравнение).
    Найдите все целые пары \((x,y)\), удовлетворяющие уравнению \[ x+y+xy=2025. \]