Физтех-лицей им. Капицы из 8 в 9 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 8 $\to$ 9 класс)

Математика

2026 год

1. Вычислите и упростите.
   1. Вычислите: \[ \frac{\sqrt{18}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}. \]
   2. Упростите выражение и укажите ОДЗ: \[ \frac{a^2-9}{a^2-3a}+\frac{a+3}{a}. \]
2. Решите уравнение (укажите ОДЗ): \[ \frac{x+1}{x-2}+\frac{x-2}{x+1}=\frac{5}{2}. \]
3. Постройте график функции: \[ y=\frac{|x-3|-2}{x-1}. \] Укажите область определения, точки пересечения с осями координат и вертикальную/горизонтальную асимптоты (если есть).
4. Текстовая задача (смеси).
   Смешали \(20\%\)-й и \(35\%\)-й растворы соли и получили \(10\) л \(29\%\)-го раствора. Сколько литров каждого раствора взяли?
5. Решите неравенство: \[ \frac{(x-2)(x-3)}{x-4}\ge 0. \]
6. Параметр.
   Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[ x^2-2(a+1)x+(a^2-1)=0 \]
   1. имеет ровно один действительный корень;
   2. имеет два различных действительных корня, причём оба корня положительны;
   3. имеет два различных действительных корня, причём корни разных знаков.
7. Геометрия (биссектриса).
   В треугольнике \(ABC\) биссектриса \(AD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(D\). Известно, что \(BD=6\), \(DC=9\), \(AB=10\). Найдите \(AC\).
8. Геометрия (хорды).
   В окружности хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\). Известно, что \(AE=4\), \(EB=9\), \(CE=6\). Найдите \(ED\).
9. Геометрия (трапеция).
   В трапеции \(ABCD\) (\(AB\parallel CD\)) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AB=8\), \(CD=18\).
   1. Найдите отношения \(\dfrac{AO}{OC}\) и \(\dfrac{BO}{OD}\).
   2. Докажите, что треугольники \(AOB\) и \(COD\) подобны, и найдите отношение их площадей \(S_{AOB}:S_{COD}\).
10. Теория чисел.
    Найдите наибольшее целое \(k\), такое что \(7^{k}\) делит \(1000!\).