Физтех-лицей им. Капицы из 7 в 8 класс 2026 год Вариант Юайти 2

ФИЗТЕХ-ЛИЦЕЙ ИМ. П. Л. КАПИЦЫ

Пробный вариант Юайти 2 (переход 7 $\to$ 8 класс)

Математика

2026 год

1. Вычислите / упростите.
   1. Вычислите: \[ \frac{(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)}{2^{16}-1}. \]
   2. Упростите выражение и укажите ОДЗ: \[ \frac{a^{2}-9}{a^{2}-3a}:\frac{a+3}{a}. \]
2. Экстремум.
   Найдите наибольшее значение выражения \[ -2x^{2}+8x-1 \] и значение \(x\), при котором оно достигается.
3. Уравнение.
   Решите уравнение: \[ x^{3}-3x^{2}-4x+12=0. \]
4. Параметр.
   Рассмотрите уравнение \[ (a-1)(a-4)\,x=a-4. \]
   1. При каких значениях \(a\) уравнение не имеет решений?
   2. При каких значениях \(a\) уравнение имеет бесконечно много решений?
   3. При каких значениях \(a\) уравнение имеет единственное решение? Найдите \(x\).
5. График функции.
   Постройте график функции \[ y=\frac{|x|-2}{x-1}. \] Укажите область определения, точки пересечения с осями координат и вертикальную асимптоту (если есть).
6. Текстовая задача (смеси/растворы).
   Смешали \(10\%\)-й и \(30\%\)-й растворы соли и получили \(5\) л \(18\%\)-го раствора. Сколько литров каждого раствора взяли?
7. Геометрия (доказательство).
   В треугольнике \(ABC\) высота \(AH\) проведена к стороне \(BC\) (то есть \(AH\perp BC\)). Известно, что \(BH=HC\). Докажите, что \(AB=AC\).
8. Геометрия (вписанный угол / инцентр).
   Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(I\). Известно, что \(\angle BIC=125^\circ\). Найдите \(\angle A\).
9. Геометрия (окружность).
   Точка \(O\) равноудалена от точек \(A\), \(B\), \(C\) (то есть \(OA=OB=OC\)). Известно, что \(\angle AOB=100^\circ\) и \(\angle BOC=140^\circ\). Найдите углы треугольника \(ABC\).
10. Теория чисел / комбинаторика.
    Сколько существует целых пар \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению \[ x+y+xy=2025? \]