Лицей НИУ ВШЭ тест из 8 в 9 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 8 $\to$ 9 класс)

Комплексный тест по математике.

2026 год

1. Решите уравнение $\frac{5}{6}x-0{,}75=\frac{x+1}{4}+1{,}25$.
2. В магазине, если продали более $75\%$ товара, то цену повышают на $20\%$; если продали менее $50\%$ – цену уменьшают на $30\%$; иначе цену не меняют. Когда оставалось $18\%$ товара, цена стала равна $84$ руб. Какой станет цена, если останется $52\%$ товара?
3. Вычислите $\sqrt{(6-4\sqrt{3})^2}+\sqrt{\frac{1}{9}}\cdot\sqrt{0{,}81}-4\sqrt{3}$.
4. Числа $x_1$ и $x_2$ $-$ корни уравнения $x^2-2x+a=0$. Известно, что $\frac{x_1^2}{1-x_2}+\frac{x_2^2}{1-x_1}=4$. Найдите $a$.
5. Прямые $y=-2x-6$ и $y=-3x-3$ пересекаются в точке $M$. Через точку $M$ проведена прямая $l$, параллельная прямой, проходящей через точки $A(-1;-2)$ и $B(-2;0)$. Найдите абсциссу точки пересечения прямой $l$ с осью $Ox$.
6. В лагере Юайти выдают мерч: футболку или кружку. Известно, что у четверти ребят, у которых была футболка, получили также кружку, а у пятой части ребят с кружкой, также есть футболка. Сколько всего ребят занимались в лагере, если их больше 90, но меньше 100?
7. Найдите значение выражения $\frac{9 a^{3} - 18 a^{2} + 9 a}{3 a^{2} - 3 a} - \frac{- a^{3} + 3 a}{a^{2} - a}$ при $a=2$.
8. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) известно, что $AB=10$, $AC=6$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, причём $AM=5$. Найдите $MC^2$.
9. Два бегуна одновременно стартуют из домов навстречу друг другу по прямой дороге и встречаются. После встречи каждый увеличивает свою скорость в $3$ раза и возвращается домой. Известно, что на обратный путь после встречи у каждого ушло $20$ минут. Если бы они не встретились и продолжили бежать к дому друг друга со своими первоначальными скоростями, то один из них добежал бы на $1\ \text{ч}\ 30\ \text{мин}$ раньше другого. Сколько времени (с первоначальной скоростью) затратил бы более медленный бегун, чтобы добежать до дома другого?
10. Найдите наименьшее натуральное число $k$, такое что $k^3$ можно представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел, причём наименьшее из семи чисел кратно $13$.