Лицей НИУ ВШЭ профиль из 7 в 8 класс 2026 год Вариант Юайти 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

Пробный вариант Юайти 1 (переход 7 $\to$ 8 класс)

Углубленная математика.

2026 год

1. Упростите выражение \[ \left(\frac{x}{x-y}-\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}\right)\;:\;\frac{x}{x+y} \] и вычислите его значение при \(x = 2 \dfrac{1}{2}\), \(y = 1 \dfrac{3}{4}\).
2. На полке стоят художественные и научно-популярные книги. После того как \(20\%\) художественных книг выдали на дом, а на полку поставили ещё \(9\) научно-популярных, научно-популярных книг стало в \(\dfrac{3}{2}\) раза больше, чем художественных. Если вместо этого поставили бы 5 художественных книг и убрали бы 10 научно-популярных, то книг обоих видов стало бы поровну. Сколько книг каждого вида было сначала?
3. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) \(BC = \dfrac{1}{2}AB\). Высота \(CH\) опущена на гипотенузу \(AB\). Биссектриса угла \(A\) пересекает отрезок \(CH\) в точке \(K\). Найдите угол \(\angle AKH\).
4. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ |x-1| + |x-4| = a \] имеет ровно два различных корня, причём один из корней в 5 раз больше другого.
5. Найдите наибольший простой делитель числа \[ 17^2\,(17^2+1)+1. \]