Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 9 в 10 класс 2026 год Вариант Юайти 4

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 4 (переход 9 $\to$ 10 класс)

2026

1. Упростите: $\displaystyle \frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+6}+\sqrt{x+1}}$ (при $x\ge -1$).
2. Разложите на множители: $x^3-3x^2-4x+12$.
3. Решите уравнение: $|x^2-4x+1|=3$.
4. Решите уравнение: $\displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3$.
5. Решите неравенство: $\displaystyle \frac{x-1}{x+2}<\frac{2}{x+6}$ (при допустимых $x$).
6. Решите систему: $\begin{cases} xy=12 & \\ x+y=7 & \end{cases}$
7. Пусть $x_1,x_2$ — корни $x^2-7x+10=0$. Составьте уравнение, корни которого равны $x_1^2$ и $x_2^2$.
8. Найдите количество целых $n$ на отрезке $[1,200]$, для которых $n$ делится на $6$, но не делится на $4$.
9. Докажите, что среди любых 11 целых чисел найдутся два, разность которых делится на $10$.
10. Найдите остаток при делении на $8$ числа $3^{2026}+5^{2026}$.
11. Последовательность задана: $a_1=2$, $a_{n+1}=3a_n+2$. Найдите $a_n$ (формулу) и $a_6$.
12. В треугольнике $ABC$ известно $AB=13$, $AC=15$, $\angle A=60^\circ$. Найдите $BC$ и площадь треугольника.
13. В окружности радиуса $R=17$ хорда равна $16$. Найдите расстояние от центра до хорды.
14. В равнобедренном треугольнике боковая сторона $25$, основание $14$. Найдите радиус описанной окружности.
15. Сколькими способами можно разбить класс из 10 человек на группы по $6$ и $4$ учеников так, чтобы Максим был в группе с Раилом?
16. Можно ли разрезать доску $8\times 8$ на домино $1\times 2$, если вырезаны две противоположные угловые клетки? (Обоснуйте.)