Юайти ✕ Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 9 в 10 класс 2026 год | Вариант 5

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 5 (переход 9 $\to$ 10 класс)

2026

1. Вычислите: $\displaystyle \sqrt{20+8\sqrt6}-\sqrt{20-8\sqrt6}$.
2. Упростите: $\displaystyle \left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)\cdot(x^2-4)$ (при допустимых $x$).
3. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{2x+1}{x-3}-\frac{x-2}{2x}=4$.
4. Решите уравнение: $\displaystyle \sqrt{3x+4}=\sqrt{x+10}-2$.
5. Решите неравенство: $x^2-6x+5\ge 2|x-1|$.
6. Найдите все пары натуральных $(x,y)$, для которых $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$.
7. Пусть $a,b$ — корни $t^2-6t+1=0$. Найдите значение $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ с помощью теоремы Виета.
8. Найдите наименьшее натуральное $n$, такое что $n$ делится на $7$ и $n+1$ делится на $9$, а $n+2$ делится на $8$.
9. Докажите, что для любого целого $n$ число $n^2(n^2-1)$ делится на $12$.
10. Найдите остаток при делении на $13$ числа $2^{2026}-2^{2024}$.
11. В арифметической прогрессии $a_5=11$, $a_{17}=47$. Найдите $a_1$ и разность.
12. В треугольнике $ABC$ стороны $9$, $10$, $17$. Найдите длину медианы к стороне $17$.
13. В окружности радиуса $10$ хорда стягивает центральный угол $120^\circ$. Найдите длину хорды.
14. В параллелограмме стороны $9$ и $13$, угол между ними $60^\circ$. Найдите площадь.
15. Сколькими способами можно расставить 7 различных книг на полке так, чтобы три заданные книги стояли рядом (в любом порядке)?
16. В каждой клетке доски $4\times 4$ стоит число $1$. За ход выбирают любую строку или столбец и меняют знак у всех чисел в ней. Можно ли получить ровно одну клетку со значением $-1$, а остальные $+1$? (Обоснуйте.)