Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 9 в 10 класс 2026 год Вариант Юайти 3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 3 (переход 9 $\to$ 10 класс)

2026

1. Упростите: $\displaystyle \left(\frac{x^2-9}{x-3}-\frac{x^2-1}{x-1}\right)\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{4}$ (при допустимых $x$).
2. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{x+2}{x-1}+\frac{x-1}{x+2}=3$.
3. Решите уравнение: $\sqrt{x^2-6x+13}=x-1$.
4. Решите неравенство: $(x-2)(x+3)\le |x-2|$.
5. Найдите все целые решения уравнения $x^2-5y^2=1$ при $|x|\le 50$.
6. Пусть $a,b$ — корни $t^2-4t+1=0$. Найдите $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ и $\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$.
7. Найдите остаток при делении на $11$ числа $10^{2026}-1$.
8. Докажите, что число $n^5-n$ делится на $5$ при любом целом $n$.
9. Найдите все целые $n$, при которых $n^2+1$ делится на $5$.
10. В арифметической прогрессии сумма первых 20 членов равна $210$, а $a_1=1$. Найдите разность прогрессии.
11. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$. Известно $AB=12$, $AC=15$, $BC=9$. Найдите $AM$.
12. В окружности радиуса $10$ расстояние от центра до хорды равно $6$. Найдите длину хорды.
13. В прямоугольнике диагональ равна $34$, одна сторона равна $16$. Найдите вторую сторону и площадь.
14. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр $0,1,2,3,4,5$ без повторений так, чтобы число делилось на $3$?
15. На доске написаны числа $1,2,\dots,30$. За ход стирают любые два числа $a,b$ и записывают НОД$(a,b)$. Какое наибольшее число может остаться в конце? (Обоснуйте.)