Лицей «Вторая школа» (Л2Ш) из 8 в 9 класс 2026 год Вариант Юайти 3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

Пробный вариант школы Юайти 3 (8 $\to$ 9 класс)

2026 год

1. Упростите: $\displaystyle \frac{\sqrt{x}-9}{\sqrt{x}-4}(4\sqrt{x}-\frac{20\sqrt{x}}{9-\sqrt{x}})$ (при $x\ge 0$).
2. Вычислите: $\displaystyle \frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{21-6\sqrt{10}}}-3\sqrt{10}$.
3. Решите уравнение: $x^2-6x-2|x-3|=6$.
4. Решите уравнение: $\displaystyle \frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}=10$.
5. Решите неравенство: $|2x-5|+|x+1|\le 8$.
6. Решите систему: $\begin{cases} |x-3|\le 2 & \\ |x-2.5|\ge 1.5 & \end{cases}$.
7. Пусть $x_1,x_2$ — корни $x^2-4x+1=0$. Найдите $x_1^3+x_2^3$.
8. Найдите точку пересечения графиков $y=|x^2-2|-|x|$ и $y=x$.
9. Докажите, что число $3^{2n}-1$ делится на $8$ при любом натуральном $n$.
10. Найдите все целые $n$, при которых число $n^2+8n+202$ делится на $3$.
11. Докажите, что сумма любых 4 последовательных натуральных чисел чётна.
12. В окружности радиуса $R=13$ хорда имеет длину $10$. Найдите площадь треугольника, остоящего из этой хорды и двух радиусов этой окружности.
13. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр $0,1,2,3,4,5$ без повторений, которые делятся на $5$?
14. На доске записано 100 единиц. За ход выбирают любые две записи и заменяют их одной записью — их разностью по модулю. Может ли в итоге остаться число $5$? (Обоснуйте.)