Школу №2086 из 4 в 5 класс 2025 год

Письменный экзамен по математике в 5 класс на базе ГБОУ СОШ 2086. 23 августа 2025 г
Внимательно прочитайте условие. Решите задачу на черновике. Затем перепишите на чистовик РЕШЕНИЕ и ответ. Ответ в задачах, даже правильный, без решения засчитываться не будет. Черновик проверяться не будет.

1. (2 балла) Вычислите: $1976 \times 42 - 26 \times (46\,463 - 45\,386) + 936\,612 : 36$
2. (2 балла) Решите уравнение: $5000 - (3612 : x + 47) : 18 = 4995$
3. (3 балла) Сумма в 15 раз больше второго слагаемого, а первое слагаемое на 117 больше второго слагаемого. Восстановите пример (найдите слагаемые и сумму).
4. (4 балла) Изобразите на этом числовом луче числа $18$, $4$ и $42$. Определите, какое число соответствует отмеченной чёрной точке. Укажите на этом луче точку $А$, если известно, что точка $А$ в три раза ближе к началу отсчета, чем к точке с координатой $40$.
5. (4 балла) В магазин привезли 3600 кг овощей. Третья часть составили картофель, пятая часть — морковь, остальное — капуста. Через два дня продали 420 кг картофеля, 200 кг моркови и $ \dfrac{3}{5} $ всей капусты. Остальные овощи оказались разложены в 50 одинаковых ящиках. Сколько килограммов овощей?
6. (5 баллов) Никита решил купить всем девочкам, которые встретились ему в школе, по цветку. В цветочном магазине ему предложили розы по 9 рублей и тюльпаны по 7 рублей. Никита подсчитал, что на покупку роз ему не хватает 17 рублей, а если он купит всем девочкам по тюльпану, то у него останется еще 11 рублей. Сколько девочек встретил Никита и сколько у него было денег?
7. (5 баллов) Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоциклист. Через час мотоциклист был точно посредине между пунктом A и автомобилем, а еще через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта A. Во сколько раз мотоциклист был медленнее автомобиля?
8. (5 баллов) Периметр квадратного бассейна равен 240 м. Сколько метров верёвки понадобится, чтобы разделить бассейн на четыре прямоугольные зоны, площади которых равны (см. рисунок справа)?
9. (6 баллов) В мешке лежат 100 шариков красного, синего и жёлтого цветов. Некоторые шарики раскрашены в два цвета, но ни один из них не раскрашен всеми тремя. 43 шарика — не синие, 68 шариков — не жёлтые, 30 шариков — не красные. Сколько шариков раскрашены в два цвета?
10. (7 баллов) Катя, Вика, Сева и Миша — ученики 4, 5, 6 и 7 классов. На вопрос, кто в каком классе, ребята сказали так:
    • Катя: «Вика старше Миши»
    • Вика: «Миша старше Севы»
    • Сева: «Катя младше Миши»
    • Миша: «Вика младше Кати»
    Позже выяснилось, что если кто-то высказался про школьника старше его самого, то он соврал. Все остальные утверждения были правильными. Определите, кто в каком классе учится.

Максимальное количество баллов = 42

1. Задача. Вычислите: $1976 \cdot 42 - 26 \cdot (46\,463 - 45\,386) + 936\,612 : 36$.
   Решение. Сначала выполним действия в скобках и умножение с делением: $1976 \cdot 42 = 82\,992$, $46\,463 - 45\,386 = 1077$, $26 \cdot 1077 = 28\,002$, $936\,612 : 36 = 26\,017$. Теперь найдём значение всего выражения: $82\,992 - 28\,002 + 26\,017 = 54\,990 + 26\,017 = 81\,007$.
   Ответ. 81007
2. Задача. Решите уравнение: $5000 - (3612 : x + 47) : 18 = 4995$.
   Решение. Из числа $5000$ вычли некоторое число и получили $4995$, значит вычли $5$. Тогда $(3612 : x + 47) : 18 = 5$. Значит $3612 : x + 47 = 90$, откуда $3612 : x = 43$. Тогда $x = 3612 : 43 = 84$.
   Ответ. 84
3. Задача. Сумма в $15$ раз больше второго слагаемого, а первое слагаемое на $117$ больше второго слагаемого. Найдите слагаемые и сумму.
   Решение. Пусть второе слагаемое равно одной части. Тогда сумма равна $15$ таким частям. Значит первое слагаемое равно $15 - 1 = 14$ частям. По условию первое слагаемое на $117$ больше второго, значит $14 - 1 = 13$ частей составляют $117$. Одна часть равна $117 : 13 = 9$. Тогда второе слагаемое равно $9$, первое равно $14 \cdot 9 = 126$, а сумма равна $126 + 9 = 135$.
   Ответ. Первое слагаемое – 126, второе слагаемое – 9, сумма – 135
4. Задача. На числовом луче нужно отметить числа $18$, $4$ и $42$, определить число, соответствующее чёрной точке, и указать точку $A$, если точка $A$ в три раза ближе к началу отсчёта, чем к точке с координатой $40$.
   Решение. Без рисунка нельзя определить, какое число соответствует чёрной точке. Координату точки $A$ можно найти по условию. Если от начала отсчёта до точки $A$ расстояние равно $x$, то от точки $A$ до точки с координатой $40$ расстояние равно $40 - x$. По условию точка $A$ в три раза ближе к началу отсчёта, чем к точке $40$, значит $40 - x = 3x$. Тогда $40 = 4x$, откуда $x = 10$.
   Ответ. Точка $A$ имеет координату 10
5. Задача. В магазин привезли $3600$ кг овощей. Третья часть – картофель, пятая часть – морковь, остальное – капуста. Через два дня продали $420$ кг картофеля, $200$ кг моркови и три пятых всей капусты. Остальные овощи разложили в $50$ одинаковых ящиках. Сколько килограммов овощей оказалось в каждом ящике?
   Решение. Картофеля было $3600 : 3 = 1200$ кг, моркови было $3600 : 5 = 720$ кг. Тогда капусты было $3600 - 1200 - 720 = 1680$ кг. После продажи осталось картофеля $1200 - 420 = 780$ кг, моркови $720 - 200 = 520$ кг, капусты осталось две пятых от $1680$, то есть $1680 : 5 \cdot 2 = 672$ кг. Всего осталось $780 + 520 + 672 = 1972$ кг овощей. В одном ящике оказалось $1972 : 50 = 39{,}44$ кг.
   Ответ. 39,44 кг в каждом ящике
6. Задача. Никита решил купить всем девочкам, которых встретил в школе, по цветку. Розы стоят по $9$ рублей, тюльпаны – по $7$ рублей. На розы ему не хватает $17$ рублей, а после покупки тюльпанов у него осталось бы $11$ рублей. Сколько девочек встретил Никита и сколько у него было денег?
   Решение. Если бы Никита покупал розы, ему не хватило бы $17$ рублей, а при покупке тюльпанов осталось бы $11$ рублей. Значит разница между стоимостью всех роз и всех тюльпанов равна $17 + 11 = 28$ рублей. Один цветок отличается по цене на $9 - 7 = 2$ рубля. Тогда девочек было $28 : 2 = 14$. Денег у Никиты было столько, сколько стоят $14$ тюльпанов, и ещё $11$ рублей: $14 \cdot 7 + 11 = 98 + 11 = 109$ рублей.
   Ответ. 14 девочек, 109 рублей
7. Задача. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоциклист. Через час мотоциклист был точно посредине между пунктом $A$ и автомобилем, а ещё через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта $A$. Во сколько раз мотоциклист был медленнее автомобиля?
   Решение. Пусть за $1$ час мотоциклист проезжает $x$ км. Через час он находится ровно посередине между пунктом $A$ и автомобилем, значит в этот момент автомобиль находится на расстоянии $2x$ от пункта $A$. Ещё через час мотоциклист будет на расстоянии $2x$ от пункта $A$. По условию автомобиль тоже окажется на расстоянии $2x$ от пункта $A$, но уже по другую сторону от этого пункта. Значит за второй час автомобиль прошёл путь от точки на расстоянии $2x$ до точки на расстоянии $2x$ по другую сторону, то есть $4x$ км. Следовательно, скорость автомобиля в $4$ раза больше скорости мотоциклиста.
   Ответ. В 4 раза
8. Задача. Периметр квадратного бассейна равен $240$ м. Сколько метров верёвки понадобится, чтобы разделить бассейн на четыре прямоугольные зоны, площади которых равны, по рисунку?
   Решение.
   Ответ.
9. Задача. В мешке лежат $100$ шариков красного, синего и жёлтого цветов. Некоторые шарики раскрашены в два цвета, но ни один не раскрашен всеми тремя. $43$ шарика не синие, $68$ шариков не жёлтые, $30$ шариков не красные. Сколько шариков раскрашены в два цвета?
   Решение. Синих шариков $100 - 43 = 57$, жёлтых $100 - 68 = 32$, красных $100 - 30 = 70$. Если сложить количество красных, синих и жёлтых шариков, получим $70 + 57 + 32 = 159$. Если бы каждый шарик был окрашен только в один цвет, получилось бы $100$. Лишние $159 - 100 = 59$ получились потому, что каждый двухцветный шарик посчитали два раза вместо одного. Значит двухцветных шариков $59$.
   Ответ. 59
10. Задача. Катя, Вика, Сева и Миша учатся в $4$, $5$, $6$ и $7$ классах. Катя сказала: «Вика старше Миши». Вика сказала: «Миша старше Севы». Сева сказал: «Катя младше Миши». Миша сказал: «Вика младше Кати». Известно, что если кто-то высказался про школьника старше себя, то он соврал. Все остальные утверждения были правильными. Определите, кто в каком классе учится.
    Решение. Предположим, что Миша соврал. Тогда его фраза «Вика младше Кати» неверна, значит Вика старше Кати. Но тогда Катя высказалась про Вику, которая старше неё, значит Катя тоже должна была соврать. Тогда неверно, что Вика старше Миши, значит Миша старше Вики. Получается, что Миша говорил только про тех, кто младше него, и должен был сказать правду. Получилось противоречие. Значит Миша сказал правду: Вика младше Кати, а Миша старше и Вики, и Кати. Катя упомянула Мишу, который старше неё, значит Катя соврала. Тогда неверно, что Вика старше Миши, то есть Миша старше Вики. Вика упомянула Мишу, который старше неё, значит Вика соврала, поэтому неверно, что Миша старше Севы. Значит Сева старше Миши. Получаем порядок по возрасту и по классу: Вика, Катя, Миша, Сева.
    Ответ. Вика – 4 класс, Катя – 5 класс, Миша – 6 класс, Сева – 7 класс