Лицей №1523 из 7 в 8 класс 2016 год

ЛИЦЕЙ № 1523

2016 год

1. Вычислить $$ 3,75+\left(4 \frac{1}{15}-2 \frac{2}{3}+1 \frac{4}{25}\right): 1 \frac{1}{3} $$
2. Решить уравнения $$ \text { а) } \begin{aligned} (x-2)(x+3)+(x-2)(2 x+1) &=(2-x) \\ \text { б) } \frac{5-2 x}{2}+\frac{7 x-3}{6}-\frac{3-2 x}{3} &=x-1 \end{aligned} $$
3. Найти значения параметров $m, a$ и $b$, при которых равенство $$ \left(2 x^{2}+x-5\right)(x+m)=2 x^{3}+3 x^{2}+a x+b $$ оказывается верным при любом $x$.
4. Ломаная состоит из трех отрезков и имеет длину 11 см. Первый отрезок равен 17,5% всей длины ломаной, второй отрезок - 5/11 длины оставшихся двух отрезков. Найти длину третьего отрезка ломаной.
5. При каком $d$ прямые $5 x+3 y=7$ и $2 y+x=d$ пересекаются в точке, принадлежащей прямой $y=-2 x$.
6. Построить график функции $$ \text { 1) } y= \begin{cases}-|x|+1 & \text { при } x \geq 0, \\ 1 & \text { при } x<0 ;\end{cases} $$ 2) $y=(x-2)^{2}+(x+3)^{2}-\left(2 x^{2}+12\right)$ По графику полученной функции определить, при каких значениях $x$ значение $y$
   1. равно нулю
   2. больше нуля
   3. меньше нуля
7. 1. Докажите, что при любом целом $n$ значение выражения $$ (2 n-3)^{2}-(4 n-1)(n+6) $$ кратно $5 .$
   2. известно, что $\frac{a-b}{a}=5$ Найдите значение выражения $$ \frac{2 a+4 b}{b} $$
8. Угол $\angle A$ треугольника $A B C$ равен $\alpha$, а угол $\angle B-$ прямой. Точка $D$ отложена на $A C$ так, что $C D=C B .$ Точка $E$ отложена на $A B$ так, что $B E=B D .$ Найти угол $\angle A D E$, если $\alpha<45^{\circ} .$ При каком значении $\alpha$ угол $\angle A D E$ будет вдвое меньше $\alpha ?$
9. Упростить выражение и вычислить при $\quad x=3 \frac{1}{3} \quad, \quad a=-1 \frac{1}{2} \quad, \quad b=-\frac{1}{5}$ $$ \frac{\left[\left(\frac{x}{a b}\right)^{6}\right]^{2} \cdot(a b)^{5} \cdot\left[\left(\frac{x}{a b}\right)^{2}\right]^{5} \cdot\left[(a b)^{10}\right]^{3}}{\left(\frac{x}{a b}\right)^{3} \cdot\left(\frac{x}{a b}\right)^{4} \cdot\left[\left(\frac{x}{a b}\right)^{3}\right]^{4} \cdot\left[(a b)^{15}\right]^{2}} $$

Ответы:
1) 5.67
2.a) 2; -5/3
2.b) 12
3) m=1; a=-4; b=-5
4) 4.95
5) 21
6.1.
a) 1
б) <1
в) >1
6.2.
a) -0.5
б) >-0.5
в) <-0.5
7.a) 5*(3-7n)
7.b) 3.5
8. 30
9) 10/3

Решения задач

1. Вычислить $ 3,75+\left(4 \frac{1}{15}-2 \frac{2}{3}+1 \frac{4}{25}\right): 1 \frac{1}{3} $ Решение: Переведем смешанные дроби в неправильные:
   $4 \frac{1}{15} = \frac{61}{15}$, $2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$, $1 \frac{4}{25} = \frac{29}{25}$, $1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
   Выполним действия в скобках:
   $\frac{61}{15} - \frac{8}{3} + \frac{29}{25} = \frac{61}{15} - \frac{40}{15} + \frac{29}{25} = \frac{21}{15} + \frac{29}{25} = \frac{7}{5} + \frac{29}{25} = \frac{35}{25} + \frac{29}{25} = \frac{64}{25}$
   Разделим на $\frac{4}{3}$:
   $\frac{64}{25} : \frac{4}{3} = \frac{64}{25} \cdot \frac{3}{4} = \frac{48}{25} = 1,92$
   Прибавим к 3,75:
   $3,75 + 1,92 = 5,67$
   Ответ: 5,67.
   
   
2. Решить уравнения
   1. $(x-2)(x+3)+(x-2)(2x+1) = (2-x)$
      Решение:
      Вынесем общий множитель $(x-2)$:
      $(x-2)[(x+3)+(2x+1)] = -(x-2)$
      $(x-2)(3x+4) + (x-2) = 0$
      $(x-2)(3x+4+1) = 0$
      $(x-2)(3x+5) = 0$
      Корни: $x=2$ или $x=-\frac{5}{3}$
      Ответ: $2; -\frac{5}{3}$.
      
      
   2. $\frac{5-2x}{2}+\frac{7x-3}{6}-\frac{3-2x}{3} = x-1$
      Решение:
      Умножим все члены уравнения на 6:
      $3(5-2x) + (7x-3) - 2(3-2x) = 6x-6$
      Раскроем скобки:
      $15-6x+7x-3-6+4x = 6x-6$
      Приведем подобные:
      $(5x+6) = 6x-6$
      $x = 12$
      Ответ: 12.
   
   
   
3. Найти значения параметров $m, a$ и $b$: $ \left(2x^{2}+x-5\right)(x+m) = 2x^{3}+3x^{2}+ax+b $ Решение:
   Раскроем левую часть:
   $2x^{3} + (2m+1)x^{2} + (m-5)x -5m$
   Приравняем коэффициенты:
   $\begin{cases} 2m+1 = 3 \\ m-5 = a \\ -5m = b \end{cases}$
   Решаем систему:
   $2m+1=3 \Rightarrow m=1$
   $a=1-5=-4$
   $5\cdot5\cdot1=-5$
   Ответ: $m=1$, $a=-4$, $b=-5$.
   
   
4. Длина ломаной 11 см. Первый отрезок — 17,5% от 11 см:
   $11 \cdot 0,175 = 1,925$ см
   Остаток: $11 - 1,925 = 9,075$ см
   Второй отрезок: $\frac{5}{11} \cdot 9,075 = 4,125$ см
   Третий отрезок: $9,075 - 4,125 = 4,95$ см
   Ответ: 4,95 см.
   
   
5. Найти $d$ при пересечении прямых на $y=-2x$:
   Подставим $y=-2x$ в уравнения:
   $5x + 3(-2x) = 7 \Rightarrow -x = 7 \Rightarrow x = -7$
   Тогда $y = 14$
   Подставим $x=-7$, $y=14$ во второе уравнение:
   $2\cdot14 + (-7) = d \Rightarrow d = 21$
   Ответ: 21.
   
   
6. Построить графики:
   1. Кусочная функция:
      При $x \geq 0$: $y = -|x|+1 = -x+1$
      При $x < 0$: $y = 1$
   2. Упростим выражение:
      $(x-2)^2 + (x+3)^2 - (2x^2+12) = x^2-4x+4 + x^2+6x+9 -2x^2-12 = 2x+1$
      График — прямая $y=2x+1$
      Анализ:
      1. $2x+1=0 \Rightarrow x=-0,5$
      2. $2x+1>0 \Rightarrow x>-0,5$
      3. $2x+1<0 \Rightarrow x<-0,5$
   
   
   
7. 1. Доказать кратность 5:
      $(2n-3)^2 - (4n-1)(n+6) = 4n^2-12n+9 - (4n^2+24n-n-6) = -35n+15 = 5(-7n+3)$
      Ответ: доказано.
   2. Из $\frac{a-b}{a}=5$ получаем $a-b=5a \Rightarrow b=-4a$
      Подставим в выражение:
      $\frac{2a+4b}{b} = \frac{2a-16a}{-4a} = \frac{-14a}{-4a} = 3,5$
      Ответ: 3,5.
   
   
   
8. Геометрическая задача:
   В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^\circ$), $CD=CB$, $BE=BD$.
   $\angle ADE = \alpha/2$ при $\alpha=30^\circ$
   Ответ: $\angle ADE = \frac{\alpha}{2}$ при $\alpha=30^\circ$.
   
   
9. Упростить выражение:
   Числитель: $\left(\frac{x}{ab}\right)^{12} \cdot (ab)^5 \cdot \left(\frac{x}{ab}\right)^{10} \cdot (ab)^{30} = \left(\frac{x}{ab}\right)^{22} \cdot (ab)^{35}$
   Знаменатель: $\left(\frac{x}{ab}\right)^7 \cdot \left(\frac{x}{ab}\right)^{12} \cdot (ab)^{30} = \left(\frac{x}{ab}\right)^{19} \cdot (ab)^{30}$
   Результат: $\frac{\left(\frac{x}{ab}\right)^{22} \cdot (ab)^{35}}{\left(\frac{x}{ab}\right)^{19} \cdot (ab)^{30}} = \left(\frac{x}{ab}\right)^3 \cdot (ab)^5 = \frac{x^3}{a^3b^3} \cdot a^5b^5 = a^2b^2x^3$
   Подставим значения:
   $a=-1,5$, $b=-0,2$, $x=\frac{10}{3}$
   $a^2b^2x^3 = (2,25)(0,04)(\frac{1000}{27}) = 0,09 \cdot \frac{1000}{27} = \frac{90}{27} = \frac{10}{3}$
   Ответ: $\frac{10}{3}$.